苏教版必修41.1任意角、弧度教学ppt课件

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§1.1　任意角、弧度1．1.1　任意角 课时目标1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．2．理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限． 1．角(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________所形成的角负角按______________所形成的角零角一条射线______________，称它形成了一个零角2.象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴重合，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．一、填空题1．经过10分钟，分针转了________度．2．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．3．若α是第四象限角，则180°－α是第____象限角．4．－2011°是第________象限角．5．与－495°终边相同的最大负角是________，最小正角是________．6．已知α为第三象限角，则所在的象限是第________象限．7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________________．8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.9．集合M＝，P＝，则M、P之间的关系为________．10．已知α是小于360°的正角，如果7α角的终边与α的终边重合，则角α的集合是________．二、解答题11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.             12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．           能力提升13．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．              14．设α是第二象限角，问是第几象限角？               1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k∈Z这一条件不能少． 第1章　三角函数§1.1　任意角、弧度1．1.1　任意角知识梳理1．(1)一条射线　端点　旋转　(2)逆时针方向旋转　顺时针方向旋转　没有作任何旋转2．第几象限角3．α＋k·360°，k∈Z作业设计1．－60　2.x轴的正半轴　3.三4．二解析　∵－2011°＝－6×360°＋149°，且149°是第二象限角，∴－2011°是第二象限角．5．－135°　225°解析　－495°＝－360°＋(－135°)，－495°＝－2×360°＋225°.6．二或四解析　由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角．7．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}8．－110°或250°解析　∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，∴k＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.9．MP解析　对集合M来说，x＝(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)45°，即45°的倍数．10．{60°，120°，180°，240°，300°}解析　∵7α角的终边与角α的终边重合，∴7α＝k·360°＋α(k∈Z)，∴α＝k·60°，又∵0<α<360°，k∈Z，∴α＝60°，120°，180°，240°，300°.∴角α的集合是{60°，120°，180°，240°，300°}．11．解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．12．解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．13．解　终边落在y＝x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．14．解　当α为第二象限角时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋·360°<<60°＋·360°，k∈Z.当k＝3n时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，此时为第一象限角；当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，此时为第二象限角；当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，此时为第四象限角．综上可知是第一、二、四象限角． 1．1.2　弧度制 课时目标1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝________ rad2π rad＝________180°＝________ radπ rad＝________1°＝________rad≈0.017 45 rad1 rad＝________≈57°18′3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝________l＝________扇形的面积S＝________S＝________＝________一、填空题1．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．2．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．3．集合A＝与集合B＝的关系是________．4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．5．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其圆心角的弧度数是________．6．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝________.7．若角α，β终边关于原点对称，且α＝－，则β角的集合是________．8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则角α的集合为________________．9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________.10．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________．二、解答题11．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？             12．如图，动点P，Q从点A(4,0)同时出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转弧度，点Q按顺时针方向每秒转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧度数．          能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？                             1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度． 1．1.2　弧度制知识梳理1．(1)　(2)半径长　1 rad　(3)|α|＝　终边的旋转方向　正数　负数　02．2π　360°　π　180°　　°3.　αR　　αR2　lR作业设计1．－π解析　∵－π＝－2π＋，∴θ＝－π.2．25解析　216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.3．A＝B4.解析　r＝，∴l＝|α|r＝.5．1或4解析　设扇形半径为r，圆心角为α，则，解得或.6．{α|0≤α≤π}解析　集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．7．{β|β＝2kπ＋，k∈Z}解析　由对称性知，β角的终边与的终边相同，∴β角的集合是{β|β＝2kπ＋，k∈Z}8.解析　由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，－2π＝－π，－4π＝－π.9.π或π解析　－π＋π＝π＝π，－π＋π＝π＝π.10．2∶3解析　设扇形内切圆半径为r，则r＋＝r＋2r＝a.∴a＝3r，∴S内切＝πr2.S扇形＝αr2＝××a2＝××9r2＝πr2.∴S内切∶S扇形＝2∶3.11．解　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时θ＝＝＝2 rad.12．解　设第一次相遇所用的时间为t秒．∵圆的半径为R＝4，∴4(t＋t)＝2π×4，解得t＝4，故P点走过 rad，Q点走过－ rad.答　P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒，P，Q点各自走过的弧度分别为 rad，－ rad.13．4解析　设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r.∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4.14．解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°＝50 (cm2)．(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R＝－R2＋cR＝－(R－)2＋.当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.