2012-2013高二北师大数学选修2-2：第三课时 数系的扩充与复数的引入小结与复习教学设计

第三课时  数系的扩充与复数的引入小结与复习一、教学目标：1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律二、教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、知识梳理：知识网络    五、知识点：1．复数的定义设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．全体复数所构成的集合叫做复数集，记作.2．复数的分类对于复数（1）当时，是实数（2）当时，是虚数（3）当时，是纯虚数3．复数相等两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＝z2⇔4．复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数z＝a＋bi 一一对应 有序数对(a，b)  一一对应点Z(a，b)．(3)设 ＝a＋bi，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝5．共轭复数如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为＝6．复数的运算 (1)复数的加、减法运算法则         (a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. (2)复数的乘法①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.②乘法运算律：（1）交换律：z1z2= z2 z1，(2) 结合律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 ， (3) 乘法对加法的分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。③复数的乘方：对复数z, z1, z2和自然数m，n有④ 0 (3)复数的除法除法运算规则：= a+bi   ,    = c+di   （a,b,c,d∈R ）           则六、典例分析1、 复数的概念 例1（1）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)A．2　　　　　　　　B．－2C．－       D.（2）若，则实数m的值为（    ）A.       B.       C.      D. （3）设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________【思路分析】：（1）先对化简，再利用纯虚数定义即可求得。（2）先化简成a＋bi的形式，再利用定义求得。（3）利用复数相等求得，利用复数定义求实部。【自主解答】：（1）【解析】选A.＝·＝，∵为纯虚数， （2）【解析】所以（2）答案C. （3）【解析】设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.【技巧点拨】：复数的分类 2、复数相等例2  （1）若，其中为虚数单位，则          （2）若（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________.【思路分析】：（1）对复数进行乘法运算然后利用复数相等定义可得；（2）利用复数的相等及相关运算可以求得.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解.【自主解答】：（1）[解析] （2）【解析】因为，所以.又因为都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以【技巧点拨】：1.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法2.两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.3、复数的几何意义及复数的模例3（1）已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____.（2）下面是关于复数的四个命题：P1:|z|=2,                     P2:z2=2i,P3:z的共轭复数为1+i,         p4:z的虚部为-1，其中的真命题为（  ）（A）p2,p3   (B)P1,P2   (C)P2,  (D)P3, （3）若复数z满足|z－3|≤，求|z－(1＋4i)|的最大值和最小值．【思路分析】：（1）本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式，利用求得.（2）本题正确把握复数的概念和运算方法是解题的关键.（3）利用复数蓦地几何意义确定复数对应点的取值范围，转化为点到点的距离问题。【自主解答】：（1）【解析】=，（2）【解析】：由题意得，，则，，  ，复数的虚部为，所以是正确的，故选C.（3）【解析】　|z－3|≤表示以(3,0)为圆心，为半径的圆及其内部的点，|z－(1＋4i)|表示上述点到(1,4)的距离，而(1,4)、(3,0)两点之间的距离为＝2，∴|z－(1＋4i)|max＝2＋＝3，|z－(1＋4i)|min＝2－＝【技巧点拨】复数z＝a＋bi 一一对应 有序数对(a，b)  一一对应点Z(a，b)．设 ＝a＋bi，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝。4、复数的四则运算例4（1）是虚数单位， A、 B、 C、 D、（2）复数（A）        （B）        （C）     （D）【思路分析】：（1）为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.（2）先利用分式除法法则化简，再平方即可。【自主解答】：（1）【解析】，选（2）【解析】选A 【技巧点拨】复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算。若在运算的过程中，能用； 等结论，可以提高运算的速度。【总结提升】1. 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。2.两共轭复数在复平面上对应点关于轴对称，所以他们的和必为实数，差为纯虚数，积为实数。3.实数的共轭复数是它本身。4.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用。5.一些常用的结果：（1）的周期性；（2）；（3）。