初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册3 勾股定理的应用举例教案

《勾股定理的应用举例（1）

——圆柱的侧面展开图》教学设计

【课标解读】

《数学课程标准》指出数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法．学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式．

《数学课程标准》对本节的要求是，让学生经历探索求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离的求法的活动，学会有条理地分析、解决问题，培养学生的观察能力、动手操作能力、分析解决问题的能力、合作交流的能力；通过学习，使学生能灵活运用勾股定理灵活地求出一些圆柱表面距离的最小值问题，明晰勾股定理在现实生活中的应用．

【教材分析】

本节是义务教育课程标准鲁教版七年级（上）第三章《勾股定理》第３节．具体内容是运用前两节已学过的勾股定理及其直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题．当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具有一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力．其在利用勾股定理解决实际问题的过程中，让学生体验数学学习的实用性．

【教学目标】

1.知识与技能目标

能利用勾股定理灵活地求出一些圆柱表面距离的最小值问题，进一步发展学生的应用意识．

2.过程与方法目标

经历将实际问题抽象成数学问题解决的过程，提高学生的观察能力、动手操作能力、分析解决问题的能力及合作交流的能力．

3.情感与态度目标

通过自主探索、小组合作，激发学生学习的兴趣，培养学生的探究意识和合作精神，养成仔细观察、认真思考及时反思的好习惯．

【教学重点】

能利用勾股定理灵活地求出一些圆柱表面距离的最小值问题，进一步发展学生的应用意识．

【教学难点】

经历将实际问题抽象成数学问题解决的过程，提高学生的观察能力、动手操作能力、分析解决问题的能力及合作交流的能力．

【突破重难点策略】

通过问题的切入，让学生经历观察、操作、思考、探索、交流 的活动过程，发展其分析解决问题的能力，突出重点；通过个人思考、小组讨论、合作交流，教师再适当加以指点，化解难点．

【学情分析】

学生在初一的数学学习中，已掌握了“两点之间，线段最短”这一基本事实及其在生活中的简单应用．通过本章前两节的学习，学生又掌握了勾股定理及其逆定理，为本节课的学习做好铺垫．

充分发挥学生的主体性．因此根据这一理念，我在教学中组织学生采用认真观察、自主探索、合作交流的学习方式进行学习．

教具：多媒体课件，学案、自制的圆柱体、剪刀．

【评价设计】

（1）通过变式1、变式2、变式3考查学生是否掌握了能利用勾股定理灵活地求出一些圆柱表面距离的最小值问题，能否准确地找到展开图中两点的位置并顺利求解，从而学会解一类题，

（2）通过课堂观察、提问、思考、讨论、交流等方式考查“过程与方法目标”和“情感与态度目标”的达成情况.

（3）通过提问、交流等方式考查学生是否了解“建模”的数学思想.

（4）通过填写“勾股定理的应用举例（1）----圆柱的侧面展开图”全面了解学生达成目标的情况．

勾股定理的应用举例（1）----圆柱的侧面展开图课堂学习评价表

班级                                      姓名      

说明：A．优秀  B．良好  C．合格

【教学过程】

一．情景引入

从综合楼A点走到教学楼B点怎样走最近？其理由是什么？

（设计意图：通过此环节引导学生回顾以往所学，为后面的学习奠定基础，简单切入，为后面的探究节省时间）

二．探究新知

【探究点】如何确定圆柱体侧面两点间的最短路线

 如图所示，有一个圆柱，它的高是12cm,底面上圆的周长等于18cm，

在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行到B点，求其爬行的最短路程是多少？

问题预设：学生对此问题可能无从下手.

应对策略：教师要通过一系列的问题串、驱动学生积极思考、引导学生展开一系列的探究活动．

（设计意图：从有趣的生活场景引入，激发学生的探究欲望，让学生明确引入研究的必要性．）

【活动流程】

处理策略：在整个探究活动中，教师要给学生充足的时间进行探究，教师要多关注学生的思维发展、学生的动手操作、学生的分析解决问题的能力、学生的表达能力，给予适当的必要的引领与评价．

(一)寻找蚂蚁爬行的所有路径的情况

[活动要求]：

请同学们拿出已做好的圆柱

1.在图上标出点A、点B的位置

2.尝试着从点A到点B沿圆柱侧面进行比划，寻找蚂蚁爬行的所有路径情况．  

问题预设：本环节若放手让学生操作猜想存在的情况，同学们的操作方向可能不够明确，显得杂乱，又探究不出结果来．

应对策略：教师出示具体的活动要求，学生进行操作即可，探究方向即明确又节省了时间．

[活动程序]：

1.学生先独立思考

2.小组合作交流

3.班内交流展示补充，达成一致．

4.教师引领学生进行归纳总结可能存在的情况

问题预设：学生在独立思考的基础上加上小组的合作交流能顺利地找出（2）（3）（4）种情况，也可能有交流第（1）种情况的．

应对策略：在这里，教师要处理好预设与生成的关系，及时追问第一种情况是否成立的合理性，进一步引发学生思考，同时也提醒了同学们审题的重要性----本节课重点研究的是蚂蚁沿圆柱侧面爬行的所有路径情况．

（设计意图：通过以上探究活动让学生明确首要解决的问题，为后面的探究做好辅垫）

反思：                                           

（二）比较蚂蚁爬行的所有路径哪种情况最短

[活动程序]：

1．生先独立思考

2．班内交流

3．师引领达成一致，哪种情况最短-----两点之间，线段最短（需将立体图形----平面图形）

问题预设：由于情景引入的铺垫学生基本上能顺利地找到解决问题的根本之所在．

（设计意图：进一步明晰探究问题的过程，解决问题的根本之所在）

（三）寻求蚂蚁爬行的所有路径中最短路径的求法

[活动步骤]

1．明确圆柱的侧面展开图是什么？

2．生先猜想点A、点B在侧面展开图中的位置．

3．操作验证

[活动要求]：

    沿着点A或点B所在的一条母线将圆柱剪开，观察定位点A、点B的位置，并画出示意图．

（设计意图：本环节若不提具体的活动要求，由于操作不当学生很难找准在展开图中点A、点B的位置，既浪费了时间，还探究不出效果，为了不把探究搞得复杂，又能让学生较明确顺利地完成任务，需要提出明确的活动要求）

[活动程序]

（1）生将操作的结果画出示意图．

（2）班内交流展示示意图

（3）生完成解题过程

（4）师进行引领总结：

[得出求最短路程方法]

(1) 展成平面图形                     

（2）确定最短路线(即两个点的具体位置）

（3）确定直角三角形

（4）利用勾股定理求解

问题预设：让学生自己反思后总结，可能有点难

应对策略：教师要起到高效的引领，在回忆整个求最短路线的过程中理顺求解方法的具体步骤．

[方法提炼]：

解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：

1．审题——分析实际问题；

 2．建模——建立相应的数学模型；

 3．求解——运用勾股定理计算；

4．检验——是否符合实际问题的真实性．

反思：解决本题目的关键是什么？

处理策略：引领学生及时回顾反思，进一步明确解决此类问题的方法及关键之所在，为后面的变式训练的顺利求解做好铺垫．

（设计意图：以明细的知识板块、以明确的问题串、以及时的追问，驱动学生积极思考，思维步步深入，及时有效地完成探究任务，同时也提高学生分析、解决问题、合作交流的能力，学习价值得到体现，学习意识得到提高．）

三．小试牛刀

[变式1]．

如图，有一圆柱，其高为8cm，它的底面周长为16cm，在圆柱外侧距下底1cm的A处有一只蚂蚁，它想得到距上底1cm 的B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程是多少？

（设计意图：让生找出本题与例题的变化点，比较异同，触类旁通）

反思：                                                

 [变式2]．

    有一圆柱形油罐如图所示，已知油罐的底面圆半径是2米,高为5米，要从A点起环绕油罐建梯子,梯子的顶端正好到达A点的正上方B点，则梯子最少需要多少米？（π=3）.

（设计意图：让生找出本题与例题的变化点，比较异同，触类旁通）

反思：                                                

 [变式3]．

我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺？

（设计意图：让生找出本题与变式2的变化点，比较异同，触类旁通）

反思：                                                

处理策略：1.放手与学生独立完成

              2.生想象不出的可动手操作完成，实在解决不了的可小组合作完成．

              3.让生交流展示成果

              4.让生比对题目的变化点

          5.师给予必要的引领总结，得出一类题的解决方法．

设计意图：让学生对此类问题，达到举一反三，触类旁通，明确题目的变化点，从而学会解一类题．

[思维加油站]：如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为多少 m（容器厚度忽略不计）．

（设计意图：这是一组备用练习题，留给学有余力的学生去完成，让优生吃饱吃好，体现了分层教学）

四．总结反思

1．本节课你学习了哪些知识？有哪些收获？体现了什么数学思想？

2.请填写学习评价表：你本节课的表现（     ）

A.优秀  B.良好  C.合格

（设计意图：通过提问和交流,师生共同梳理本节课的知识点,使所学知识进一步条理化、清晰化、系统化，同时引导学生对自己的学习过程进行反思、评价，实现教学目标）

五．分层作业                            

1.必做：印的卷子四道题

2.选作：印的卷子一道题

六．【板书设计】