浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积教案

《§ 3.8(2)  弧长及扇形的面积》教学设计

——浙教版义务教育教科书九年级上册3.8课时2

教学内容解析

本节内容是《弧长及扇形的面积》第2课时，即扇形面积。主要内容是扇形的面积公式的探索与推导及其应用，通过与圆弧长的探索过程进行类比是完成这一环节的关键。

教学目标

    1.通过与弧长公式的探索过程进行类比，经历探索扇形面积计算公式的过程；

    2.掌握扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题．

3.在探索新知和应用新知的过程，培养类比、转化等数学思想方法.

学情分析

学生已经掌握了弧长公式及其推导的思路，还有圆面积计算公式等与圆相关的知识储备。另外，初中学生往往更重直观，虽然也不乏一定的逻辑思维能力。因此结合学生的年龄特点和心理特征和他们的认知水平,采用启发式的教学模式结构进行教学.教师充分提供学习素材,以及探究的时间和空间.在教学过程中,利用学生已有的数学经验和认知,通过观察抽象再类比推理的方式，加深对图形整体感知的能力,体验探究的乐趣.

教学重点

   扇形面积计算公式．（①公式的探索过程；②公式的应用.）

教学难点

    例2（教材中例4）涉及弓形的面积计算和流量、流速等实际背景，较为复杂，学生不易理解，是为本节教学难点.

教学方法

    问题驱动，交流探索

教具准备

    1．PPT投影片；2.折扇及团扇等实物

教学过程

    Ⅰ.创设问题情境，形成概念

    展示欣赏部分实物图片，抽象出扇形这一几何图形，逐步形成概念，引入新课．

[设计意图]让学生体悟生活与数学的关系，培养学生观察抽象的能力.

Ⅱ. 归纳概念

扇形是一种怎样的几何图形？由哪些元素组成？如何用语言表述？

PPT呈现概念内容，结合图形剖析关键词，指出扇形中的弧可以使劣弧、优弧、半圆，同时呈现相应的图形，加深对概念的理解.

[设计意图]通过观察，进一步归纳出扇形的描述性定义.

Ⅲ.概念辨析

下列各图，哪些是扇形？为什么？

     (1)       (2)          (3)            (4)          (5)        (3)

Ⅳ.提出问题，引发探究

提问：对于一个扇形，我们可以研究它哪些方面的问题？

学生自由回答，自然生成.

……

扇形的周长：两条半径+弧长（弧长如何计算，以此复习弧长公式）

扇形的面积：与哪些量有关？应怎样计算？

利用实物——折扇演示，同时连续追问：

1.在折扇中可以看到两个扇形，他们的面积不一样，原因是它们圆心角相等，半径不等；

2.压缩折扇的角度，面积变小，而半径没变，原因是圆心角变小了.

综合1、2可知扇形的面积与半径和圆心角大小有关.

3.将圆看作圆心角为360°的扇形，其面积为R2，这样圆心角为1°的扇形面积为，于是半径为R，圆心角为n°的扇形面积为S扇=.至此推导出扇形面积.

细化推导过程，归纳面积公式.

[设计意图]通过复习弧长公式及其推导思路，类比得到扇形面积公式的推导.

Ⅴ.类比与引申.挖掘公式的功能（在S、n、R三者之中已知其二，可求第三），变形得到弧长与扇形面积之间的关系，即扇形的另一个面积公式（类同于三角形面积公式，将扇形看作曲边三角形，半径看作三角形的高.此处蕴含极限思想，向学生稍作解释.）.

Ⅵ.巩固新知

1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=      .

2.已知扇形面积为3π，圆心角为30°，则这个扇形的半径R=____．

3.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为__________．

[设计意图] 意在加深学生对公式的理解与应用，提高熟练程度.

Ⅶ.范例精析

例1（教材P105例3）

如图，有一把折扇和一把团扇.已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？

本例难点在于折扇的扇面是一个扇环（大扇形-小扇形），另涉及字母运算，要求较高.

设计以下问题：（辅以实物）

折扇的扇面是扇形吗？这一部分的面积如何计算？（不是扇形，用大扇形-小扇形）

例2（教材P106例4）

某引水工程的主干输水管的直径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到多少m/s(精确到0.01m/s)？

本例难点在于水管截面中有水部分是弓形，需要转化为圆面积-小弓形或扇形+△AOB或等于扇形+S△AOB进行计算；另涉及流量、流速等复杂的实际背景，难以理解.

设计以下问题，引发学生思考，分解难点：

（1）图中截面有水的部分是扇形吗？ ①S圆-S小弓形 ；②S大弓形+S△AOB.

（2）△AOB的面积如何计算？

（3）水的流速与流量、截面面积有什么关系？ 流速×截面积=流量

师生共同完成解题过程.

[设计意图] 结合具体例子介绍弓形的面积，加深学生对扇形面积公式的认识.同时小结不规则图形面积的求法：若图形为不规则的图形时，要把它转化为规则图形来解决.

Ⅷ.应用与拓展

1.如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm,求截面中有水部分弓形的面积.

本题着重引导学生弄清：

（1）阴影部分是弓形，其面积=扇形-S△AOB；

（2）通过连结OA、OB，作OC⊥AB构造直角三角形，利用垂径定理或等腰三角形的三线合一求出圆心角，从而为问题的求解层层作好了铺垫.

2.如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所围成的两个新月形，它的面积与直角三角形的面积有什么关系？请说明理由.

[设计意图] 进一步巩固扇形面积及弓形面积的计算方法.拓展2更为复杂，但本质还是弓形等不规则图形的面积计算方法. 本题着重运用“设而不求”和整体的数学思想综合勾股定理和扇形的面积进行计算化简，难度较大，运算要求较高，师生共同探讨完成.

Ⅸ.课堂小结

本节课不仅学习了扇形的面积计算公式，更重要的是在公式推导过程中所蕴含的数学思想方法，比如类比和转化等等.

[设计意图] 通过小结，使学生梳理本节内容，把握本节课的核心——扇形面积公式，并体会部分与整体之间的联系和类比、转化的数学思想.