数学浙教版3.7 正多边形教案

九上《3.7 正多边形》教学设计

一、教学内容分析

本节课的内容是浙教版教材改版后的一个变化之处，将原教材八下的《多边形》第三课时内容进行了整合，去掉了平面镶嵌的知识点，增加了正多边形与圆的关系及正多边形的画法等知识点，将《正多边形》这节课呈现在九上《圆》这一章中.本节课内容是在学生已经初步学习圆的基本性质的前提下，通过操作、观察、类比、归纳等数学活动，对圆与正多边形的关系、正多边形的画法、正多边形的对称性等方面进行了探索，这样的整合，不仅有利于学生体验与理解、思考与探索，也便于教师教学.

二、学情分析

　　九年级的学生已经学习了圆、多边形，积累了一定的几何图形学习的经验，正处于形象思维到抽象思维过渡的阶段，思维较为活跃，动手能力强，善于互相交流，但独立思考和探究的能力有待培养和提高.让学生用“操作、观察、类比、归纳”等方法探索正多边形，不仅符合学生的认知规律，同时也培养了学生主动探求知识的精神和思维的条理性.　　

三、教学目标

  　1．了解正多边形的概念.

      2．了解正多边形与圆的关系：任何一个正多边形都有一个外接圆.

      3．了解正多边形的一般画法.

     4．会用尺规作正六边形.

四、教学重点

     本节课的教学重点是正多边形的概念和与圆的关系.

五、教学难点

     正六边形的尺规作图思路较难形成，是本节课的教学难点.

六、教学策略分析

1.正多边形在日常生活中应用比较广泛，我以货币和纪念币为载体进行展开，让学生有种亲切感，同时能感受到数学来源于生活又将服务于生活.

2.正多边形与圆有着密切的联系，他们之间最为根本的关系可以概括为定理：任何一个正多边形都有一个外接圆.但是这个定理的证明有较高难度，我安排了一个动手操作：让学生作正三角形和正方形的外接圆，从而让学生发现这一定理.另外我借助几何画板从反方面让学生感知：我们能在给出的圆中任意作出一个内接正多边形.

3.正六边形的尺规作图思路较难形成，是本节课的教学难点.我在前面做了适当的铺垫，先让学生借助量角器、直尺，画出圆的内接正六边形，让学生感知到要作正六边形只要找到那个关键的60°角，从而形成用尺规作图画圆的内接正六边形的思路.  

七、教学过程

　　1．情景创设，引出课题

　　这个美丽图案的主体部分由一些多边形构成.多边形我们在八年级已经学过，随着边数的改变，它的内角和与外角和会改变吗？

　　你发现这些多边形有什么特别之处吗？

设计意图：通过提问，让学生回顾已有知识，有意识地引导学生复习多边形的内角和与外角和，为后续研究正多边形的内角做好铺垫.

2．知识类比，形成概念

2．1生活中的数学

      生活中有很多正多边形的存在，古今中外流通的货币和纪念币中尤为多见.比如这种印有菊花的一角硬币，大家知道里面的图形是正几边形吗？

   那么到底什么样的图形是正多边形呢？

　　2．2研读定义

　　各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．正多边形的边数为n，则称为正n边形．

　　2．３定义辨析

　　以下这些图形是正多边形吗？若不是，请说明理由.

设计意图：这里设计了三个环节：第一个环节，通过具体实物提取出正多边形的几何图形，目的是让学生感知正多边形来源于生活，使学生感受到生活中到处存在着数学，激发学习的热情；第二个环节，通过类比正三角形、正方形得出正多边形的定义，让学生体会知识之间的互相联系和迁移；第三个环节，通过菱形和长方形对定义进行辨析，让学生深刻理解证明一个多边形是正多边形要同时满足边相等和角相等两个条件.

　　3．师生合作，探索新知

　　  3．1探索一：正多边形的内角

　　例1  已知一个正多边形纪念币的内角140°，这个正多边形纪念币是几边形？

有没有内角为100°的正多边形纪念币？

　　  3．2探索二：正多边形与圆的关系

（1）我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形.

（2）已知正三角形和正方形，用直尺和圆规作它的外接圆.

通过这个实践让学生发现：任何正多边形都有一个外接圆.

（3）反过来，我们能在给出的圆中任意作一个内接正多边形吗？

通过几何画板演示，我们发现能在给出的圆中任意作出一个内接正多边形.

　　  3．3探索三：正多边形的画法

　　（1）借助量角器、直尺，你能画出圆的内接正五边形、正六边形吗？

    （2）例2  现要制作一枚纪念币，要求外围是圆形，圆内有个内接正六边形的图案.已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O 的内接正六边形.

　　  3．4探索四：正多边形的对称性

　　（1）正三角形和正方形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？

 （2）

用命题的形式概括正n边形的中心对称性和轴对称性，以及轴对称图形的对称轴条数.

任何正n边形都是轴对称图形，且有n条对称轴.

当n为偶数时，正n边形是中心对称图形.

当n为奇数时，正n边形不是中心对称图形.

设计意图： 布鲁纳认为，探索发现是数学教学的生命.在这一部分我安排了四个探索.

首先在正多边形概念教学后安排正多边形的内角探究，让学生经历正反两种方法求正多边形的边数，从而体会到在解决某些数学问题时，可以从事物的反面出发来思考，这种逆向思维有时会使我们事半功倍；

其次安排了正多边形与圆的关系探索，他们两者之间有着密切的联系，他们之间最为根本的关系可以概括为定理：任何一个正多边形都有一个外接圆.但是这个定理的证明有较高难度，我安排了一个动手操作：让学生作正三角形和正方形的外接圆，从而让学生发现这一定理.另外我借助几何画板从反方面让学生感知：我们能在给出的圆中任意作出一个内接正多边形；

再次顺着几何画板画出的圆内接正多边形，很自然过渡到第三个探索，让学生自己经历正多边形的画法.正六边形的尺规作图思路较难形成，是本节课的教学难点.我在前面做了适当的铺垫，先让学生借助量角器、直尺，画出圆的内接正六边形，让学生感知到那个关键的60°角，从而形成用尺规作图画圆的内接正六边形的思路；

最后，探索回归到起点，正是因为正多边形的对称性，才造就了正多边形的美观.在探索正n边形的中心对称性时，让学生切实理解了在解决数学问题时当问题给出的对象不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准进行分类.在这样的数学活动中，学生通过做和思考，积淀了一定的数学活动经验，为后续的学习奠定了基础.

整个探索过程以纪念币和货币为主线，深刻体会了从一般到特殊的数学思想，让每个学生都能不同程度地参与到课堂，学生通过自己的操作、观察、类比、归纳等数学活动，对正多边形有了不同程度的理解，这正是课标中所倡导的数学课程基本理念：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.

　　4．综合应用，内化新知

   如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,

(1)求∠ABD的度数.

（2）连结CE交BD于点F，说出图中的等腰三角形，并说明理由.

（3）判断四边形ABFE的形状，请说明理由.

设计意图： 通过多样化的应用过程，目的内化新知，获得分析问题、解决问题的方法策略，积累解决问题的经验.第一小题，放手让学生自己探索，一题多解，培养学生的发散思维和求异思维；第二、三题是在课后习题基础上进行改编的，对于部分同学有一定的难度，建议学生互相合作，讨论完成.最后小组展示讨论结果，让学生感受到数学的严谨性，数学结论的确定性和证明的必要性.　

5．总结盘点，凸显四基

    如果有人问起今天我们学习了什么？你会对他说什么呢？

设计意图：学习要善于总结，在总结中提高.我给学生搭建了一个质疑、交流和互相学习的平台，保证了此环节的时间和质量，引导学生从基础知识、基本技能、基本数学思想和基本活动经验以及学生习惯等多方面进行总结和反思.

知识、方法方面的收获学生是能直观感受到的，但是技能、数学思想和活动经验等方面是需要点拨的，点出这些才是学习的精髓所在，授之以鱼不如授之以渔.

6．学以致用，思维延伸

　尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，下面一道题传说是拿破仑考他的大臣的，你想试一试吗？只用圆规把一个圆四等分.

设计意图：在课后适度地提供了一个思考题，给了学有余力的学生一个思考的空间和思考的深度.学生在探索的同时提高了自身的思维推理水平.

八、教学反思

1．设计关注知识的落脚点,以生为本   

本节课的教学设计，立足于学生的认知基础来确定适当的起点与目标.内容安排是从引入概念出发，到探索正多边形的各种性质，使学生的思维层层展开，逐步深入.在教学中利用多媒体辅助教学，展示货币和纪念币的图片，使学生体会到数学无处不在，运用数学无时不有，并能从数学的角度发现和提出问题.

　　2．设计凸显数学探究的特点，围绕四基展开

数学学习过程本身就是一个探究的过程，在数学学习中需要学生的积极参与、观察、实验、归纳、类比、联想、演绎等.本节课我以货币和纪念币为主线，贯穿整堂课，落实基础知识的同时注重培养学生的基本技能、基本数学思想及基本活动经验，从而让不同的学生在数学基本素养方面得到了不同程度的发展.