浙教版九年级上册3.3 垂径定理教案设计

垂径定理

【教学目标】

1．经历垂径定理的逆定理的推理过程；

2．探索并掌握垂径定理的逆定理；

3．会运用垂径定理及其逆定理进行几何证明和解决简单的实际问题。

【教学重难点】

重点：垂径定理的逆定理的推理过程。

难点：例题和问题解决。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

1．用一组隧道图片，引出问题：车能过隧道吗？某公路隧道呈半圆形(单向)如图所示，半圆拱的中点离地面2m，一辆高1.8m，宽2.4m的集装箱车能顺利通过这个隧道吗？

2．发现已学习的圆的知识不够了，点出课题。

二、师生合作，探究新知

1．重径定理回顾：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

定理理解：由①CD过圆心O② CD⊥AB，得到结论③AP=BP④=⑤=

2．练习：已知AB是⊙O的弦，直径CD垂直AB于M，⊙O的半径为5，AB=6，求OM的长。

3．小组合作：请用以上五个条件中的两个作为题设，其余三个作为结论，仿照上面书写写出命题。

探索一：由①CD过圆心O③AP=BP，能否得到结论② CD⊥AB④=⑤=

归纳定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

探索二：由①CD过圆心O，⑤=能否得到结论② CD⊥AB③AP=BP④=

归纳定理2：平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

（对垂径定理及其逆定理进行梳理）

4．判断题：

（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （     ）

（2）平分弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧。     （     ）

（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。               （     ）

（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。         （     ）

5．学以致用：

（如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D，你认为AC=BD吗？ 为什么？（从辅助线的不同作法入手分析解决办法）

三、运用新知，深化理解

1．弓形介绍：弓形指圆弧和它所对的弦构成的图形。弓形的高指圆弧的中点到它所对的弦的距离。（思考：弓形的高过圆心吗？）引导学生从弧的中点出发，运用逆定理2论证。

2．思考一：若弓形的高为2cm，弦AB长8cm，求弓形所在圆的半径。

3．例题攻克：例1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m，拱高(即弓形高)为7.23m，求桥拱的半径(精确到0.01m)。

4．思考二：已知：AB和EF是⊙O的两条平行的弦，直径CD交AB，EF于点M，N，且AM=BM，求证：EN=FN。

5．变式：如图，已知：AB．EF是⊙O的两条平行弦，半径为5，AB=8，CD=6，求AB．CD之间的距离。

6．问题解决：某公路隧道呈半圆形(单向)如图所示，半圆拱的中点离地面2m，一辆高1．8m，宽2.4m的集装箱车能顺利通过这个隧道吗？

（1）从宽2.4m出发，分析问题；（2）从高1.8m出发，分析问题；（3）从高1.8m，宽2.4m的集装箱卡车，分析隧道半径。

四、归纳小结、梳理知识

本节课探索发现了垂径定理的逆定理：

要分清逆定理的题设和结论，即已知什么条件，可推出什么结论，这是正确理解应用的关键；

垂径定理及其逆定理的实质是把“（1）直线CD过圆心，（2）直线CD垂直AB，（3）直线CD平分弦AB；（4）直线CD平分弧”中的（1）作为前提，只要知道（2），（3）。（4）中的任一个条件成立，就能推理出其余两个。