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2021-2022学年苏科版八年级上册数学期末模拟测试卷（3）（word版 含答案）
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这是一份2021-2022学年苏科版八年级上册数学期末模拟测试卷（3）（word版 含答案） ，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（3）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．在，，π，1.010010001四个实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
4．在满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．AB：AC：BC＝：： B．BC2﹣AB2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（ ）
A．（﹣2，7） B．（4，﹣1） C．（4，7） D．（﹣2，﹣1）
6．如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
7．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（ ）
A．小丽在便利店时间为15分钟 B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽从家到达公园共用时间20分钟 D．小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟
8．如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是（ ）
A． B．2 C． D．2
9．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1
10．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组
0＜ax﹣b＜mx的解集为（ ）
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．若x3＝﹣，则x的值为 ．
12．如图，△ACD≌△CBE，且点D在边CE上．若AD＝24，BE＝10，则DE的长为 ．
13．若一次函数y＝ax﹣b的图象过点A（﹣1，﹣2），则a+b＝ ．
14．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
15．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m+n）2021的值是 ．
16．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ °．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 ．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝10，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1．
20．（5分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．
求证：
（1）（3分）△BEC≌△DEA；
（2）（2分）DF⊥BC．
21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
22．（5分）已知正比例函数的图象经过点（﹣，2）．
（1）（3分）求该函数的解析式；
（2）（2分）如果点M（2m，3m+1）在该函数图象上，求m的值．
23．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．
（1）（2分）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 ；
（2）（1分）△ABC的面积为 ；
（3）（3分）在y轴上作点P，使得PA+PB最小，请求出点P的坐标，并说明理由．
24．（5分）已知在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是BC的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10．
（1）（3分）求△ABE的面积．
（2）（2分）求AD的长．
25．（5分）如图，直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P．
（1）（2分）求A、B两点的坐标；
（2）（3分）△ABP的面积．
26．（7分）某电脑销售公司在5月份售出甲、乙、丙三种型号的电脑若干台，每种型号的电脑不少于10台．这个月的支出包括以下三项：这批产品的进货总成本850000元，人员工资和其他支出．这三种电脑的进价和售价如表所示，人员工资y1（元）与总销售量x（台）的关系式为y1＝400x+12000，其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数图象如图所示．
型号
甲
乙
丙
进价（元/台）
4500
6000
5500
售价（元/台）
6000
8000
6500
（1）（2分）求其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式；
（2）（2分）如果该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，求该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑多少台？
（3）（3分）在（2）的条件下，求该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值，并求出此时三种电脑各销售了多少台？（利润＝售价﹣进价﹣人员工资﹣其他支出）
27．（11分）如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形．
（1）（2分）正方形OCMD的边长为 ．
（2）（8分）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）．
①（3分）当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为 ；
②（6分）当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？
28．（12分）综合与探究
我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt△ABC纸片（∠B＝90°，AB＝6，BC＝8）并进行探究：
（1）（4分）如图2，“奋斗”小组将Rt△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC外部的C'处．
①若∠1＝40°，∠C＝37°，则∠2的度数为 ．
②∠1，∠2，∠C之间的数量关系为 ．
（2）（2分）如图3，“勤奋”小组将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）（6分）如图4，“雄鹰”小组将△ABC沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当△CDE为直角三角形时，求BD的长．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
答案：C．
2．在，，π，1.010010001四个实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：在，，π，1.010010001四个实数中，无理数有，π，共2个．
答案：B．
3．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
解：∵点P位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点的坐标为（﹣3，5）．
答案：D．
4．在满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．AB：AC：BC＝：： B．BC2﹣AB2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
解：A、设AB＝k，则AC＝k，BC＝k，∵AB2+AC2＝k2+2k2＝3k2＝（k）2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；
B、∵BC2﹣AB2＝AC2，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形；
答案：C．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（ ）
A．（﹣2，7） B．（4，﹣1） C．（4，7） D．（﹣2，﹣1）
解：∵点A（1，3）先向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，
∴平移后的点的横坐标是1﹣3＝﹣2，
纵坐标是3+4＝7，
∴坐标变为（﹣2，7）．
答案：A．
6．如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
解：满足条件的C点有6个，平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
答案：C．
7．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（ ）
A．小丽在便利店时间为15分钟
B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽从家到达公园共用时间20分钟
D．小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟
解：小丽在便利店时间为15﹣10＝5（分钟），故选项A错误，
公园离小丽家的距离为2000米，故选项B正确，
小丽从家到达公园共用时间20分钟，故选项C正确，
小丽从家到便利店的平均速度为：2000÷20＝100米/分钟，故选项D正确，
答案：A．
8．如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是（ ）
A． B．2 C． D．2
解：连接BE，BD，设EF与BD相交于点O，如图，
∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
∴EF垂直平分BD，∠BFE＝∠DFE，
∴ED＝EB，FD＝FB，EF⊥BD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE，
∴DE＝EB＝BF＝FD，
∴四边形DEBF为菱形，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝DE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE＝，
∵S菱形DEBF＝S三角形DEB
∴×EF•DB＝DE•AB，
∴×EF×10＝6×，
∴EF＝，
答案：C．
9．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1
解：∵AP⊥AB，
∴∠BAP＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD，
在y＝﹣2x+2中，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝1，
∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB＝，
①当∠ACD＝90°时，如图1，
∵△AOB≌△DCA，
∴AD＝AB＝，
∴OD＝1+；
②当∠ADC＝90°时，如图2，
∵△AOB≌△CDA，
∴AD＝OB＝2，
∴OA+AD＝3，
综上所述：OD的长为1+或3．
答案：D．
10．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（ ）
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
解：直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，则a＞0，
把A（4，0）代入y＝ax+b得4a+b＝0，则b＝﹣4a，
把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝2a+b＝2a﹣4a＝﹣2a，
把B（2，n）代入y＝mx得n＝2m，则m＝﹣a，
不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，
解得﹣4＜x＜﹣2．
答案：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．若x3＝﹣，则x的值为 ．
解：∵，
∴x的值为．
答案：．
12．如图，△ACD≌△CBE，且点D在边CE上．若AD＝24，BE＝10，则DE的长为 14 ．
解：∵△ACD≌△CBE，AD＝24，BE＝10，
∴CE＝AD＝24，CD＝BE＝10，
∴DE＝CE﹣CD＝24﹣10＝14，
答案：14．
13．若一次函数y＝ax﹣b的图象过点A（﹣1，﹣2），则a+b＝ 2 ．
解：∵一次函数y＝ax﹣b的图象过点A（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝a×（﹣1）﹣b，
化简，得
a+b＝2，
答案：2．
14．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
解：∵52+122＝132，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，
设斜边上的高为h，则
S△ABC＝×5×12＝×13h，
解得：h＝，
答案：．
15．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m+n）2021的值是 1 ．
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3，1﹣n＝2，
解得：m＝2，n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
所以（m+n）2021＝12021＝1．
答案：1．
16．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ 65 °．
解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴AB＝AE，∠B＝70°，
∴∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠FAG＝∠BAE＝40°．
∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝40°+25°＝65°．
答案：65．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 0＜m＜4 ．
解：作直线y＝1交y轴于C，交直线AB于D，如图：
在y＝﹣x+3中，当y＝1时，1＝﹣x+3，
解得x＝4，即D（4，1），
∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），
∴P（m，1）在线段CD上（不含C、D），
∴0＜m＜4，
答案：0＜m＜4．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝10，则四边形ABCD的面积为 50 ．
解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM与△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN；
∴△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；
设AM＝a，由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝10；
∴2a2＝100，a2＝50，
所以四边形ABCD的面积为50．
答案：50．
三、解答题（本大题共10小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1．
解：原式＝5+4+（﹣3）﹣2﹣1＝9+（﹣6）＝3．
20．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．
求证：（1）△BEC≌△DEA；
（2）DF⊥BC．
解：（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在△BEC和△DEA中，
，
∴△BEC≌△DEA（SAS）；
（2）∵△BEC≌△DEA，
∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠B＝90°．
即DF⊥BC．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝＝6，
连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝．
22．已知正比例函数的图象经过点（﹣，2）．
（1）求该函数的解析式；
（2）如果点M（2m，3m+1）在该函数图象上，求m的值．
解：（1）设这个正比例函数的解析式为y＝kx，由题意得：
2＝﹣k，
解得：k＝﹣2．
∴这个正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
（2）∵点M（2m，3m+1）在函数y＝﹣2x图象上，
∴﹣2×2m＝3m+1．
解得：m＝1．
答：m的值为1．
23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 （2，﹣4） ；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在y轴上作点P，使得PA+PB最小，请求出点P的坐标，并说明理由．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（2，﹣4）．
答案：（2，﹣4）；
（2）△ABC的面积为2×3﹣×1×2×2﹣×1×3＝，
答案：；
（3）如图所示，点P即为所求，
点B关于y轴的对称点B2坐标为（﹣1，1），
设AB2所在直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴AB2所在直线解析式为y＝x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴点P坐标为（0，2），
根据轴对称的性质知PB＝PB2，
由两点之间线段最短知PA+PB2最小，
∴PB+PA最小．
24．已知在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是BC的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10．
（1）求△ABE的面积．
（2）求AD的长．
解：（1）∵AB＝8，AC＝6，BC＝10．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠CAB＝90°，
∴S△ABC＝＝24，
∵点E是BC的中点，
∴△ABE的面积＝S△ABC＝12；
（2）∵AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝AC•AB，
∴AD＝＝4.8．
25．如图，直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）△ABP的面积．
解：（1）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2
∴A（0，1），B（0，﹣2）；
（2）由，解得，
所以P（﹣1，﹣1）；
则 S△APB＝（1+2）×1＝．
26．某电脑销售公司在5月份售出甲、乙、丙三种型号的电脑若干台，每种型号的电脑不少于10台．这个月的支出包括以下三项：这批产品的进货总成本850000元，人员工资和其他支出．这三种电脑的进价和售价如表所示，人员工资y1（元）与总销售量x（台）的关系式为y1＝400x+12000，其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数图象如图所示．
型号
甲
乙
丙
进价（元/台）
4500
6000
5500
售价（元/台）
6000
8000
6500
（1）求其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式；
（2）如果该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，求该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑多少台？
（3）在（2）的条件下，求该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值，并求出此时三种电脑各销售了多少台？（利润＝售价﹣进价﹣人员工资﹣其他支出）
解：（1）设y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝kx+b，
根据题意得：，
解得：
∴y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝100x+3000；
（2）由题意得：y1+y2＝90000，
∴400x+12000+100x+3000＝90000，
解得：x＝150
该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑150台；
（3）设该公司5月份销售甲种电脑t台，乙种电脑p台，则售出丙种电脑（150﹣t﹣p）台，
由题意得：4500t+6000p+5500（150﹣t﹣p）＝850000，
解得：p＝2t+50，
∵每种型号的电脑不少于10台，
∴
∴10≤t≤30，
∴W＝6000t+8000（2t+50）+6500（150﹣t﹣2t﹣50）﹣850000﹣90000＝2500t+110000（10≤t≤30）．
∴当t＝30时，W有最大值，最大值为：2500×30+110000＝185000（元）．
∴2t+50＝110（台），150﹣t﹣2t﹣50＝10（台）．
∴该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值为185000元，此时甲种电脑销售了30台，乙种电脑销售了110台，丙种电脑销售了10台．
27．如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形．
（1）正方形OCMD的边长为 2 ．
（2）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）．
①当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为 ；
②当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？
解：（1）设点M（x，4﹣x），
∵当四边形OCMD为正方形时，OC＝CM，即x＝4﹣x，
∴x＝2，
∴CM＝OC＝2，
答案：2；
（2）①∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴移动过程中正方形EFGH被分割出的三角形是等腰直角三角形，
如图1，
∵四边形EFGH是正方形，
∴正方形EFGH的面积＝22＝4，
当a＝1时，EM＝1，
∴S△MQE＝EM2＝，
∴正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积＝4﹣＝；
答案：；
②∵正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分，
∴两部分的面积分别为1和3．
当0＜a≤2时，如图2所示：
∵直线AB的解析式为y＝4﹣x，
∴∠BAO＝45°，
∴△MQE为等腰直角三角形，
∴EQ＝ME，
∴ME2＝1，
∴ME＝，即a＝，
当2＜a＜4时，如图3所示：
∵∠BAO＝45°，
∴△AGQ为等腰直角三角形．
∴GQ＝GA．
∴GA2＝1，解得：GA＝．
∵将y＝0代入y＝4﹣x得：4﹣x＝0，
∴x＝4，
∴OA＝4．
∴OG＝4﹣，即a＝4﹣．
综上所述，当平移的距离为a＝或a＝4﹣时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分．
28．综合与探究
我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt△ABC纸片（∠B＝90°，AB＝6，BC＝8）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将Rt△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC外部的C'处．
①若∠1＝40°，∠C＝37°，则∠2的度数为 114° ．
②∠1，∠2，∠C之间的数量关系为 ∠2＝∠1+2∠C ．
（2）如图3，“勤奋”小组将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）如图4，“雄鹰”小组将△ABC沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当△CDE为直角三角形时，求BD的长．
解：（1）①由折叠性质可得∠C＝∠C′＝37°，
∴∠DFC＝∠1+∠C′＝77°，
∴∠2＝∠DFC+∠C＝77+37＝114°，
答案：114°；
②由折叠性质可得∠C＝∠C′，
∴∠DFC＝∠1+∠C′，
∴∠2＝∠DFC+∠C＝∠1+∠C′+∠C＝∠1+2∠C，
答案：∠2＝∠1+2∠C；
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
设BD＝x，则CD＝AD＝8﹣x，
在Rt△ABD中，x2+62＝（8﹣x）2，
解得：，
∴BD的长为；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE＝AB＝6，DE＝BD，∠AED＝∠B＝90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC＝90°时，
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴点E在线段AC上，
设BD＝DE＝x，则CD＝8﹣x，
∴CE＝AC﹣AE＝4，
∴DE2+CE2＝CD2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即BD＝3；
②如图，当∠EDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∵∠BDA＝∠ADE，
∴∠BDA＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AB＝BD＝6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
2021-2022学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（3）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．在，，π，1.010010001四个实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
4．在满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．AB：AC：BC＝：： B．BC2﹣AB2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（ ）
A．（﹣2，7） B．（4，﹣1） C．（4，7） D．（﹣2，﹣1）
6．如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
7．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（ ）
A．小丽在便利店时间为15分钟 B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽从家到达公园共用时间20分钟 D．小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟
8．如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是（ ）
A． B．2 C． D．2
9．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1
10．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组
0＜ax﹣b＜mx的解集为（ ）
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．若x3＝﹣，则x的值为 ．
12．如图，△ACD≌△CBE，且点D在边CE上．若AD＝24，BE＝10，则DE的长为 ．
13．若一次函数y＝ax﹣b的图象过点A（﹣1，﹣2），则a+b＝ ．
14．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
15．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m+n）2021的值是 ．
16．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ °．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 ．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝10，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1．
20．（5分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．
求证：
（1）（3分）△BEC≌△DEA；
（2）（2分）DF⊥BC．
21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
22．（5分）已知正比例函数的图象经过点（﹣，2）．
（1）（3分）求该函数的解析式；
（2）（2分）如果点M（2m，3m+1）在该函数图象上，求m的值．
23．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．
（1）（2分）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 ；
（2）（1分）△ABC的面积为 ；
（3）（3分）在y轴上作点P，使得PA+PB最小，请求出点P的坐标，并说明理由．
24．（5分）已知在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是BC的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10．
（1）（3分）求△ABE的面积．
（2）（2分）求AD的长．
25．（5分）如图，直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P．
（1）（2分）求A、B两点的坐标；
（2）（3分）△ABP的面积．
26．（7分）某电脑销售公司在5月份售出甲、乙、丙三种型号的电脑若干台，每种型号的电脑不少于10台．这个月的支出包括以下三项：这批产品的进货总成本850000元，人员工资和其他支出．这三种电脑的进价和售价如表所示，人员工资y1（元）与总销售量x（台）的关系式为y1＝400x+12000，其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数图象如图所示．
型号
甲
乙
丙
进价（元/台）
4500
6000
5500
售价（元/台）
6000
8000
6500
（1）（2分）求其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式；
（2）（2分）如果该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，求该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑多少台？
（3）（3分）在（2）的条件下，求该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值，并求出此时三种电脑各销售了多少台？（利润＝售价﹣进价﹣人员工资﹣其他支出）
27．（11分）如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形．
（1）（2分）正方形OCMD的边长为 ．
（2）（8分）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）．
①（3分）当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为 ；
②（6分）当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？
28．（12分）综合与探究
我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt△ABC纸片（∠B＝90°，AB＝6，BC＝8）并进行探究：
（1）（4分）如图2，“奋斗”小组将Rt△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC外部的C'处．
①若∠1＝40°，∠C＝37°，则∠2的度数为 ．
②∠1，∠2，∠C之间的数量关系为 ．
（2）（2分）如图3，“勤奋”小组将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）（6分）如图4，“雄鹰”小组将△ABC沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当△CDE为直角三角形时，求BD的长．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
答案：C．
2．在，，π，1.010010001四个实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：在，，π，1.010010001四个实数中，无理数有，π，共2个．
答案：B．
3．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
解：∵点P位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点的坐标为（﹣3，5）．
答案：D．
4．在满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．AB：AC：BC＝：： B．BC2﹣AB2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
解：A、设AB＝k，则AC＝k，BC＝k，∵AB2+AC2＝k2+2k2＝3k2＝（k）2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；
B、∵BC2﹣AB2＝AC2，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形；
答案：C．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（ ）
A．（﹣2，7） B．（4，﹣1） C．（4，7） D．（﹣2，﹣1）
解：∵点A（1，3）先向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，
∴平移后的点的横坐标是1﹣3＝﹣2，
纵坐标是3+4＝7，
∴坐标变为（﹣2，7）．
答案：A．
6．如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
解：满足条件的C点有6个，平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
答案：C．
7．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（ ）
A．小丽在便利店时间为15分钟
B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽从家到达公园共用时间20分钟
D．小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟
解：小丽在便利店时间为15﹣10＝5（分钟），故选项A错误，
公园离小丽家的距离为2000米，故选项B正确，
小丽从家到达公园共用时间20分钟，故选项C正确，
小丽从家到便利店的平均速度为：2000÷20＝100米/分钟，故选项D正确，
答案：A．
8．如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是（ ）
A． B．2 C． D．2
解：连接BE，BD，设EF与BD相交于点O，如图，
∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
∴EF垂直平分BD，∠BFE＝∠DFE，
∴ED＝EB，FD＝FB，EF⊥BD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE，
∴DE＝EB＝BF＝FD，
∴四边形DEBF为菱形，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝DE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE＝，
∵S菱形DEBF＝S三角形DEB
∴×EF•DB＝DE•AB，
∴×EF×10＝6×，
∴EF＝，
答案：C．
9．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1
解：∵AP⊥AB，
∴∠BAP＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD，
在y＝﹣2x+2中，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝1，
∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB＝，
①当∠ACD＝90°时，如图1，
∵△AOB≌△DCA，
∴AD＝AB＝，
∴OD＝1+；
②当∠ADC＝90°时，如图2，
∵△AOB≌△CDA，
∴AD＝OB＝2，
∴OA+AD＝3，
综上所述：OD的长为1+或3．
答案：D．
10．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（ ）
A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4
解：直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，则a＞0，
把A（4，0）代入y＝ax+b得4a+b＝0，则b＝﹣4a，
把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝2a+b＝2a﹣4a＝﹣2a，
把B（2，n）代入y＝mx得n＝2m，则m＝﹣a，
不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，
解得﹣4＜x＜﹣2．
答案：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．若x3＝﹣，则x的值为 ．
解：∵，
∴x的值为．
答案：．
12．如图，△ACD≌△CBE，且点D在边CE上．若AD＝24，BE＝10，则DE的长为 14 ．
解：∵△ACD≌△CBE，AD＝24，BE＝10，
∴CE＝AD＝24，CD＝BE＝10，
∴DE＝CE﹣CD＝24﹣10＝14，
答案：14．
13．若一次函数y＝ax﹣b的图象过点A（﹣1，﹣2），则a+b＝ 2 ．
解：∵一次函数y＝ax﹣b的图象过点A（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝a×（﹣1）﹣b，
化简，得
a+b＝2，
答案：2．
14．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
解：∵52+122＝132，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，
设斜边上的高为h，则
S△ABC＝×5×12＝×13h，
解得：h＝，
答案：．
15．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m+n）2021的值是 1 ．
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3，1﹣n＝2，
解得：m＝2，n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
所以（m+n）2021＝12021＝1．
答案：1．
16．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ 65 °．
解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴AB＝AE，∠B＝70°，
∴∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠FAG＝∠BAE＝40°．
∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝40°+25°＝65°．
答案：65．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 0＜m＜4 ．
解：作直线y＝1交y轴于C，交直线AB于D，如图：
在y＝﹣x+3中，当y＝1时，1＝﹣x+3，
解得x＝4，即D（4，1），
∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），
∴P（m，1）在线段CD上（不含C、D），
∴0＜m＜4，
答案：0＜m＜4．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝10，则四边形ABCD的面积为 50 ．
解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM与△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN；
∴△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；
设AM＝a，由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝10；
∴2a2＝100，a2＝50，
所以四边形ABCD的面积为50．
答案：50．
三、解答题（本大题共10小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1．
解：原式＝5+4+（﹣3）﹣2﹣1＝9+（﹣6）＝3．
20．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA．
求证：（1）△BEC≌△DEA；
（2）DF⊥BC．
解：（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在△BEC和△DEA中，
，
∴△BEC≌△DEA（SAS）；
（2）∵△BEC≌△DEA，
∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠B＝90°．
即DF⊥BC．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝＝6，
连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝．
22．已知正比例函数的图象经过点（﹣，2）．
（1）求该函数的解析式；
（2）如果点M（2m，3m+1）在该函数图象上，求m的值．
解：（1）设这个正比例函数的解析式为y＝kx，由题意得：
2＝﹣k，
解得：k＝﹣2．
∴这个正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
（2）∵点M（2m，3m+1）在函数y＝﹣2x图象上，
∴﹣2×2m＝3m+1．
解得：m＝1．
答：m的值为1．
23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 （2，﹣4） ；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在y轴上作点P，使得PA+PB最小，请求出点P的坐标，并说明理由．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（2，﹣4）．
答案：（2，﹣4）；
（2）△ABC的面积为2×3﹣×1×2×2﹣×1×3＝，
答案：；
（3）如图所示，点P即为所求，
点B关于y轴的对称点B2坐标为（﹣1，1），
设AB2所在直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴AB2所在直线解析式为y＝x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴点P坐标为（0，2），
根据轴对称的性质知PB＝PB2，
由两点之间线段最短知PA+PB2最小，
∴PB+PA最小．
24．已知在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是BC的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10．
（1）求△ABE的面积．
（2）求AD的长．
解：（1）∵AB＝8，AC＝6，BC＝10．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠CAB＝90°，
∴S△ABC＝＝24，
∵点E是BC的中点，
∴△ABE的面积＝S△ABC＝12；
（2）∵AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝AC•AB，
∴AD＝＝4.8．
25．如图，直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）△ABP的面积．
解：（1）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2
∴A（0，1），B（0，﹣2）；
（2）由，解得，
所以P（﹣1，﹣1）；
则 S△APB＝（1+2）×1＝．
26．某电脑销售公司在5月份售出甲、乙、丙三种型号的电脑若干台，每种型号的电脑不少于10台．这个月的支出包括以下三项：这批产品的进货总成本850000元，人员工资和其他支出．这三种电脑的进价和售价如表所示，人员工资y1（元）与总销售量x（台）的关系式为y1＝400x+12000，其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数图象如图所示．
型号
甲
乙
丙
进价（元/台）
4500
6000
5500
售价（元/台）
6000
8000
6500
（1）求其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式；
（2）如果该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，求该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑多少台？
（3）在（2）的条件下，求该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值，并求出此时三种电脑各销售了多少台？（利润＝售价﹣进价﹣人员工资﹣其他支出）
解：（1）设y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝kx+b，
根据题意得：，
解得：
∴y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝100x+3000；
（2）由题意得：y1+y2＝90000，
∴400x+12000+100x+3000＝90000，
解得：x＝150
该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑150台；
（3）设该公司5月份销售甲种电脑t台，乙种电脑p台，则售出丙种电脑（150﹣t﹣p）台，
由题意得：4500t+6000p+5500（150﹣t﹣p）＝850000，
解得：p＝2t+50，
∵每种型号的电脑不少于10台，
∴
∴10≤t≤30，
∴W＝6000t+8000（2t+50）+6500（150﹣t﹣2t﹣50）﹣850000﹣90000＝2500t+110000（10≤t≤30）．
∴当t＝30时，W有最大值，最大值为：2500×30+110000＝185000（元）．
∴2t+50＝110（台），150﹣t﹣2t﹣50＝10（台）．
∴该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值为185000元，此时甲种电脑销售了30台，乙种电脑销售了110台，丙种电脑销售了10台．
27．如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形．
（1）正方形OCMD的边长为 2 ．
（2）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）．
①当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为 ；
②当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？
解：（1）设点M（x，4﹣x），
∵当四边形OCMD为正方形时，OC＝CM，即x＝4﹣x，
∴x＝2，
∴CM＝OC＝2，
答案：2；
（2）①∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴移动过程中正方形EFGH被分割出的三角形是等腰直角三角形，
如图1，
∵四边形EFGH是正方形，
∴正方形EFGH的面积＝22＝4，
当a＝1时，EM＝1，
∴S△MQE＝EM2＝，
∴正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积＝4﹣＝；
答案：；
②∵正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分，
∴两部分的面积分别为1和3．
当0＜a≤2时，如图2所示：
∵直线AB的解析式为y＝4﹣x，
∴∠BAO＝45°，
∴△MQE为等腰直角三角形，
∴EQ＝ME，
∴ME2＝1，
∴ME＝，即a＝，
当2＜a＜4时，如图3所示：
∵∠BAO＝45°，
∴△AGQ为等腰直角三角形．
∴GQ＝GA．
∴GA2＝1，解得：GA＝．
∵将y＝0代入y＝4﹣x得：4﹣x＝0，
∴x＝4，
∴OA＝4．
∴OG＝4﹣，即a＝4﹣．
综上所述，当平移的距离为a＝或a＝4﹣时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分．
28．综合与探究
我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt△ABC纸片（∠B＝90°，AB＝6，BC＝8）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将Rt△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC外部的C'处．
①若∠1＝40°，∠C＝37°，则∠2的度数为 114° ．
②∠1，∠2，∠C之间的数量关系为 ∠2＝∠1+2∠C ．
（2）如图3，“勤奋”小组将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）如图4，“雄鹰”小组将△ABC沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当△CDE为直角三角形时，求BD的长．
解：（1）①由折叠性质可得∠C＝∠C′＝37°，
∴∠DFC＝∠1+∠C′＝77°，
∴∠2＝∠DFC+∠C＝77+37＝114°，
答案：114°；
②由折叠性质可得∠C＝∠C′，
∴∠DFC＝∠1+∠C′，
∴∠2＝∠DFC+∠C＝∠1+∠C′+∠C＝∠1+2∠C，
答案：∠2＝∠1+2∠C；
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
设BD＝x，则CD＝AD＝8﹣x，
在Rt△ABD中，x2+62＝（8﹣x）2，
解得：，
∴BD的长为；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE＝AB＝6，DE＝BD，∠AED＝∠B＝90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC＝90°时，
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴点E在线段AC上，
设BD＝DE＝x，则CD＝8﹣x，
∴CE＝AC﹣AE＝4，
∴DE2+CE2＝CD2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即BD＝3；
②如图，当∠EDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∵∠BDA＝∠ADE，
∴∠BDA＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AB＝BD＝6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
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