2022中考数学专题复习 第二十讲 矩形、菱形、正方形(共65张PPT)课件PPT

这是一份2022中考数学专题复习 第二十讲 矩形、菱形、正方形(共65张PPT)课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了中心对称，一组对角，垂直平分等内容，欢迎下载使用。

矩形、菱形、正方形的性质和判定
【自我诊断】(打“√”或“×”)1.矩形的对角线互相平分且相等.　( )2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.　( )3.菱形的面积等于对角线乘积的一半.　( )4.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是5.　( )
5.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,BD=7,则菱形ABCD的周长为28.　( ) 6.如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为8.　( )
7.既是矩形又是菱形的四边形一定是正方形.( )
考点一 矩形的性质与判定 【示范题1】(2017·达州中考)如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长.(2)连接AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
【思路点拨】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,证出OE=OC=OF, ∠ECF=90°,由勾股定理求出EF,即可得出答案.(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.
【自主解答】(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF;∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,∴∠ECF=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得:EF= =10,∴OC=OE= EF=5.
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:连接AE,AF,如图所示:
当O为AC的中点时,AO=CO,∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形,∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形.
【答题关键指导】 矩形的两种判定方法(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等.(2)若直角较多,可证三个角为直角.
【变式训练】1.(2017·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长是(　　) A.3 cm　B.6 cm　C.10 cm　D.12 cm
【解析】选A.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD=3cm,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=3cm.
2.(2017·咸宁中考)如图,点O是矩形纸片ABCD的对称中心,E是BC上一点,将纸片沿AE折叠后,点B恰好与点O重合,若BE=3,则折痕AE的长为________.
【解析】由折叠,得∠BAE=∠OAE,EO⊥AC,又OA=OC,∴EA=EC,∴∠BAE=∠OAE=∠ECO=30°,∴AE=2BE=6.答案:6
考点二 菱形的性质与判定 【示范题2】(2017·滨州中考)如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以点B,F为圆心,大于 BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.
(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是菱形.(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4 ,求∠C的大小.
【思路点拨】(1)要证明四边形ABEF是菱形,先考虑证明四边形ABEF是平行四边形,已知BE∥AF,设法补充BE=AF即可.(2)由于四边形ABCD为平行四边形,可将求∠C转化为求∠BAD,而菱形的对角线平分一组对角,因此可先求∠DAE的大小.
【自主解答】(1)由作图过程可知,AB=AF,AE平分∠BAD.∴∠BAE=∠EAF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD.∴∠AEB=∠EAF.∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.∴BE=AF.∴四边形ABEF为平行四边形.又AB=AF,∴四边形ABEF为菱形.
(2)连接BF,BF交AE于点O,∵四边形ABEF为菱形,∴BF与AE互相垂直平分,∠BAE=∠FAE.∴OA= AE=2 .∵菱形ABEF的周长为16,∴AF=4.∴cs∠OAF= .∴∠OAF=30°,∴∠BAF=60°.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠C=∠BAD=60°.
【答题关键指导】 菱形判定方法的选择(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直.(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.
【变式训练】1.(2017·长沙中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6 cm,8 cm则这个菱形的周长为　(　　) A.5 cm B.10 cm C.14 cm D.20 cm
【解析】选D.∵AC=6,BD=8,四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA= AC=3,OB= BD=4,∴AB=5,∴菱形的周长是:4AB=4×5=20.
2.(2017·聊城中考)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是(　　) A.AB=AC B.AD=BDC.BE⊥AC D.BE平分∠ABC
【解析】选D.∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形,∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠EBF,∵DE∥BC,∴∠EBF=∠BED,∴∠DBE=∠BED,∴DB=DE,∴四边形DBFE是菱形.
3.(2017·自贡中考)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边DC,DA上,且CE=AF.求证:∠ABF=∠CBE.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴∠A=∠C,AB=BC,又∵CE=AF∴△ABF≌△CBE(SAS),∴∠ABF=∠CBE.
考点三 正方形的性质与判定 【示范题3】(2017·青岛中考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF, OE,OF.(1)求证:△BCE≌△DCF.(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.
【思路点拨】(1)由菱形的性质得出∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF,OF= DC,OE= BC,OE∥BC,由SAS证明△BCE≌△DCF即可.(2)由(1)得:AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形,再证出∠AEO=90°,则四边形AEOF是正方形.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,∴AE=BE=DF=AF,OF= DC,OE= BC,OE∥BC,在△BCE和△DCF中, ∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:由(1)得:AE=OE=OF=AF,∴四边形AEOF是菱形,∵AB⊥BC,OE∥BC,∴OE⊥AB,∴∠AEO=90°,∴四边形AEOF是正方形.
【答题关键指导】 判定正方形的三步法(1)先证明它是平行四边形.(2)再证明有一组邻边相等(或一个角是直角).(3)最后证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等).
【变式训练】1.(2017·枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为(　　)A.2 B. C. D.1
【解析】选B.∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1,则在Rt△BMF中,FM=
2.(2017·六盘水中考)如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则∠AEB=_____度.
【解析】∵四边形ABCD为正方形,△AEF为等边三角形,∴AD=AB,∠BAD=∠B=∠D=90°,∵△AEF为等边三角形,∴AE=AF,∠EAF=60°,∴△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=15°,∴∠AEB=75°.答案:75
3.(2017·广安中考)如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是AB,AD上的一点,且BF⊥CE,垂足为G.求证: AF=BE.
【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,∴∠AFB+∠ABF=90°.∵BF⊥CE,∴∠BEC+∠ABF=90°,∴∠AFB=∠BEC.
在△AFB和△BEC中, ∴△AFB≌△BEC(AAS),∴AF=BE.
考点四 特殊平行四边形的探索题 【考情分析】特殊平行四边形的探索题问题在各地中考中都是热点,这类题常以基础知识为背景加以设计而成,考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力.
命题角度1:条件的探索【示范题4】(2017·日照中考)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC.(2)只需添加一个条件,即________,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.
【思路点拨】(1)由SSS证明△DCA≌△EAC即可.(2)先证明四边形ABCD是平行四边形,再由全等三角形的性质得出∠D=90°,即可得出结论.
【自主解答】(1)在△DCA和△EAC中, ∴△DCA≌△EAC(SSS).
(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形;理由如下:∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)得:△DCA≌△EAC,
∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.答案:AD=BC(答案不唯一)
命题角度2:结论的探索【示范题5】(2017·杭州中考)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连接AG.
(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由.(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.
【思路点拨】(1)结论:AG2=GE2+GF2.连接GC,只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明.(2)过点A作AH⊥BD于点H,在Rt△ABH中,用三角函数表示出BH,在Rt△AGH中,用三角函数表示出GH,根据BG=BH+HG求得答案.
【自主解答】(1)AG2=GE2+GF2.理由如下:连接GC,因为四边形ABCD是正方形,所以AD=DC, ∠ADB=∠CDB=45°,GD=GD,∴△ADG≌△CDG,所以AG=CG.因为GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,所以四边形GFCE为矩形,所以GE=FC,所以CG2=AG2=GE2+GF2.
(2)过点A作AH⊥BD于点H,因为∠AGF=105°,所以∠AGH=60°,在Rt△ABH中,BH=AH=AB·cs 45°= ;在Rt△AGH中,GH= ;所以BG=BH+HG=
【答题关键指导】 1.给出问题的结论,分析探索使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不是唯一的,这样的问题是条件开放性问题.解这类问题要善于从问题的结论出发,逆向追求,多途寻求.
2.给定问题的条件,根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,或者相应的结论的“存在性”需要解题者景象推断,甚至要求探索条件在变化中的结论,这些问题都是结论开放性的问题,解这类问题要充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论.
【变式训练】1.(2017·兰州中考)在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB丄AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB丄BD;③OB=OC,且OB丄OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是:________.
【解析】①:有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,即①正确;②:BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,即②错误;③:对角线相等且垂直的平行四边形是正方形.由题意OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC得AC⊥BD,即四边形ABCD为
正方形,即③正确;④:邻边相等的平行四边形是菱形;对角线相等的菱形是正方形.依题意在平行四边形ABCD中,由AB=AD,得四边形ABCD为菱形,又∵AC=BD,∴菱形ABCD为正方形.即④正确.答案:①③④
2.(2017·安顺中考)如图,DB∥AC,且DB= AC,E是AC的中点,(1)求证:BC=DE.(2)连接AD,BE,若要使四边形DBEA是矩形,则给△ABC添加什么条件,为什么?
【解析】(1)∵E是AC的中点,∴EC= AC.∵DB= AC,∴DB=EC.又∵DB∥EC,∴四边形DBCE是平行四边形.∴BC=DE.
(2)添加AB=BC.理由:∵DB AE,∴四边形DBEA是平行四边形.∵BC=DE,AB=BC,∴AB=DE.∴平行四边形ADBE是矩形.
(2017·邵阳中考)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB. (1)求证:平行四边形ABCD是矩形.(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.