2022中考数学专题复习 第二十三讲 圆的有关计算(共69张PPT)课件PPT

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一、正多边形和圆1.定义:各边_____,各角也都_____的多边形是正多边形.2.正多边形和圆的关系:把一个圆______,依次连接_______可作出圆的内接正n边形.
二、圆中的弧长与扇形面积1.半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=_____.
2.扇形面积:(1)半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形=_____.(2)半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形=____.
【自我诊断】(打“√”或“×”)1.扇形小于半圆.　( )2.圆锥的侧面展开图的半径等于圆锥的母线长.( )3.已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为 .　( )
4.弓形的面积等于扇形面积-相应三角形面积.( )5.一个圆锥的底面半径是6cm,其侧面展开图为半圆,则圆锥的母线长为9cm.　( )
考点一 正多边形和圆的有关计算 【示范题1】(2017·滨州中考)若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为　(　　)
【思路点拨】根据题意画出图形,再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可.
【自主解答】选A.如图所示,连接OA,OE,∵AB是正方形ABCD内切圆的切线,∴OE⊥AB,∵四边形ABCD是正方形,∴AE=OE,∴△AOE是等腰直角三角形,∴OE=
【答题关键指导】 正多边形的有关边的计算的常用公式(1)r2+ =R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).(3)S正n边形= lr(l表示周长,r表示边心距).
【变式训练】1.(2017·达州中考)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是　(　　)
【解析】选A.如图1,∵OC=2,∴OD=2×sin30°=1;
如图2,∵OB=2,∴OE=2×sin45°= ;如图3,∵OA=2,∴OD=2×cs30°= ,则该三角形的三边分别为:1, , ,∵(1)2+( )2=( )2,∴该三角形是直角三角形,∴该三角形的面积是
2.(2017·济宁中考)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2,如此继续下去,则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________.
【解析】由正六边形的性质得:∠A1B1B2=90°, ∠B1A1B2=30°,A1A2=A2B2,∴B1B2= A1B1= ,∴A2B2= A1B2=B1B2= ,∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2,∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积∶正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积 同理:正六边形A4B4C4D4E4F4的面积= 答案:
考点二 弧长、扇形面积的计算 【示范题2】(1)(2017·烟台中考)如图,平行四边形ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的☉O交CD于点E,则 的长为　(　　)
(2)(2017·菏泽中考)一个扇形的圆心角为100°,面积为15πcm2,则此扇形的半径长为________.
【思路点拨】(1)连接OE,由平行四边形的性质出∠D=∠B=70°,AD=BC=6,得出OA=OD=3,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠DOE=40°,再由弧长公式即可得出答案.(2)根据扇形的面积公式S= 即可求得半径.
【自主解答】(1)选B.连接OE,如图所示:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3,∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=180°-2×70°=40°,∴
(2)因为圆心角为100°,面积为15πcm2,所以由扇形面积公式S= 得R= 答案: cm
【答题关键指导】 扇形面积公式的选择(1)当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式S扇形= .(2)当已知半径R和弧长求扇形的面积时,应选用公式S扇形= lR.
【变式训练】1.(2017·枣庄中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB为☉O的直径,☉O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则 的长为________.
【解析】如图,连接OE,OF,
∵CD是☉O的切线,∴OE⊥CD,∴∠OED=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,∴∠A=∠C=60°,∠D=120°,∵OA=OF,∴∠A=∠OFA=60°,∴∠DFO=120°,∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,
的长= =π.答案:π
2.(2017·泰州中考)扇形的半径为3 cm,弧长为2πcm,则该扇形的面积为________cm2.【解析】根据扇形面积公式,S= lr= ×2π×3=3πcm2.答案:3π
考点三 与圆有关的阴影面积的计算 【考情分析】与圆有关的阴影面积的计算是各地中考试题命题的热点,常与三角形、四边形、切线等结合进行命题,试题难易度变化较大,呈现形式多样化,有选择题、填空题和解答题.
命题角度1:阴影部分面积由扇形的面积与其他图形的面积和差得到【示范题3】(2017·青岛中考)如图,直线AB,CD分别与☉O相切于B,D两点,且AB⊥CD,垂足为P,连接BD,若BD=4,则阴影部分的面积为________.
【思路点拨】根据阴影部分的面积=扇形OBD的面积-△OBD的面积,计算得出答案.
【自主解答】连接OB,OD,因为直线AB,CD分别与☉O相切于B,D两点,且AB⊥CD,所以∠PBO=∠PDO=90°,因为OB=OD,所以四边形PBOD是正方形,所以∠BOD=90°,△BOD是直角三角形,由勾股定理得OB2+OD2=42,解得OB=2 ,
所以阴影部分的面积= =2π-4.答案:2π-4
命题角度2:阴影部分由多个扇形等简单组合而成【示范题4】(2017·德州中考)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半
径为1m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为________.
【思路点拨】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体,其和就是透光的面积,再计算矩形的面积,相比可得结果.
【自主解答】设☉O与矩形ABCD的另一个切点为M,连接OM,OG,则M,O,E共线,由题意得:∠MOG=∠EOF=45°,∴∠FOG=90°,且OF=OG=1,∴S透光区域= 过点O作ON⊥AD于点N,
∴ON= ∴AB=2ON= ∴S矩形= ∴ 答案:
命题角度3:阴影面积与折叠、旋转相结合考查【示范题5】(2017·济宁中考)如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC=1.将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为 ,则图中阴影部分的面积是　(　　)
【思路点拨】先根据勾股定理得到AB= ,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ABC,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD.
【自主解答】选A.∵∠ACB=90°,AC=BC=1,∴AB= ,∴S扇形ABD= 又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,∴Rt△ADE≌Rt△ABC,∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD= .
命题角度4:阴影部分面积与切线相结合【示范题6】(2017·临沂中考)如图,AB是圆O的直径,BT是圆O的切线,若∠ATB=45°,AB=2,则阴影部分的面积是　(　　)
【思路点拨】设AT交☉O于点D,连接BD,先根据圆周角定理得到∠ADB=90°,则可判断△ADB,△BDT都是等腰直角三角形,所以AD=BD=TD= 然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S△BTD.
【自主解答】选C.∵BT是☉O的切线;设AT交☉O于点D,连接BD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,而∠ATB =45°,∴△ADB,△BDT都是等腰直角三角形,∴AD=BD =TD= ∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积,∴阴影部分的面积=S△BTD=
【答题关键指导】 求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体
思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有:①直接用公式法;②和差法;③割补法.
【变式训练】1.(2017·淄博中考)如图,半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是　(　　) A.2+π　　B.2+2πC.4+πD.2+4π
【解析】选A.如图,连接CD,OD,∵BC=4,∴OB=2, ∵∠B=45°,∴∠COD=90°,∴图中阴影部分的面积=S△BOD+S扇形COD=
2.(2017·衢州中考)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是☉O的直径,CD,EF是☉O的弦,且AB∥CD ∥EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是 　(　　)A. π　B.10πC.24+4πD.24+5π
【解析】选A.作直径CG,连接OD,OE,OF,DG.∵CG是圆的直径,∴∠CDG=90°,则DG= 又∵EF=8,∴DG=EF,∴ ∴S扇形ODG=S扇形OEF,∵AB∥CD∥EF,∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=
3.(2017·怀化中考)如图,☉O的半径为2,点A,B在☉O上,∠AOB=90°,则阴影部分的面积为________.
【解析】∵∠AOB=90°,OA=OB,∴△OAB是等腰直角三角形.∵OA=2,∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB= ×2×2=π-2.答案:π-2
4.(2017·荆门中考)已知:如图,△ABC内接于☉O,半径OC⊥AB,点D在半径OB的延长线上,∠A=∠BCD=30°,AC=2,则由 ,线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为________.
【解析】由垂径定理可知BC=AC=2.∵∠O=2∠A=60°, OB=OC,∴△OBC是等边三角形.∴OC=BC=2,∠OCB=60°.∵∠BCD=30°,∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°.∴CD=OC·tan∠O=2 .S阴影=S△OCD-S扇OBC= 答案:
5.(2017·潍坊中考)如图,AB为半圆O的直径,AC是☉O的一条弦,D为 的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.(1)求证:EF为半圆O的切线.(2)若DA=DF=6 ,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)
【解析】(1)连接OD,∵D为 的中点,∴∠CAD=∠BAD. ∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO.∵DE⊥AC,∴∠E=90°.∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°.∴OD⊥EF.∴EF为半圆O的切线.
(2)连接OC,CD.∵DA=DF,∴∠BAD=∠F,∴∠BAD=∠F=∠CAD.又∵∠BAD+∠CAD+∠F=∠DOB+∠F=90°,∴∠F=30°,∠BAC=60°.∵OC=OA,∴△AOC为等边三角形.∴∠AOC=60°,∠COB=120°.
∵OD⊥EF,∠F=30°,∴∠DOF=60°.在Rt△ODF中,DF=6 ,∴OD=DF·tan30°=6.在Rt△AED中,DA=6 ,∠CAD=30°,∴DE=DA·sin30°=3 ,EA=DA·cs30°=9.
∵∠COD=180°―∠AOC―∠DOF=60°,∴CD∥AB.故S△ACD=S△COD.∴S阴影= S△AED-S扇形COD=
考点四 圆锥的侧面积、全面积 【示范题7】(2017·聊城中考)已知圆锥形工件的底面直径是40 cm,母线长为30 cm,其侧面展开图的圆心角的度数为________.
【思路点拨】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°,根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到40π= ,然后解方程即可.
【自主解答】设侧面展开图的圆心角的度数为n°,圆锥的底面周长=侧面展开图的弧长,则40π= ,解得n=240.答案:240°
【答题关键指导】 圆锥的侧面积及全面积(1)圆锥的侧面展开图是扇形,它的弧长为圆锥的底面圆的周长,扇形的半径为圆锥的母线长,圆锥的侧面积等于扇形的面积(2)圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
【变式训练】1.(2017·东营中考)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为　(　　)A.60°　　B.90°C.120°D.180°
【解析】选C.设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,侧面展开图的圆心角为n°,则 ×2πr·l=3πr2,∴l=3r,又 =3πr2,∴n=120.
2.(2017·宿迁中考)若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径是　(　　)A.2 cm　　B.3 cm　　C.4 cm　　D.6 cm【解析】选D.根据圆锥底面圆周长=扇形弧长,即l=C得12π=2πr,所以r=6.
3.(2017·无锡中考)已知圆锥的底面半径为3 cm,母线长为5 cm,则它的侧面展开图的面积等于________cm2.