陕西省西安交大阳光中学高中数学教案 选修2-1 第三章圆锥曲线与方程

第三章圆锥曲线与方程
教材解析
与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解．
另外对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.
同时,在学习平面解析几何初步的基础上,学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
课时安排
3．1 椭圆 4课时
3.1.1 椭圆及其标准方程
3.1.2 椭圆的简单性质
3．2 抛物线 3课时
3.2.1 抛物线及其标准方程
3.2.2 抛物线的简单性质
3．3 双曲线 3课时
3.3.1 双曲线及其标准方程
3.3.2 双曲线的简单性质
3．4 曲线与方程 3课时
3.4.1 曲线与方程
3.4.2 圆锥曲线的共同特征
3.4.3 直线与圆锥曲线的交点
小结 1课时
§3.1.1椭圆的标准方程(1)
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
经历动手、对比，掌握椭圆定义；会推导椭圆标准方程；明确标准方程中a、b、c的关系及几何意义；能通过标准方程判断椭圆焦点位置及a、b 、c大小；能画简单的椭圆图形
重点难点
椭圆的定义和标准方程的形式特点是重点，椭圆标准方程的推导变形过程是难点，突破难点的方法是紧紧依靠定义和准确的代数变形
学习
过程
与方
法
自主学习：
椭圆的定义（阅读课本一、椭圆定义）
平面中圆是如何定义的？圆的标准方程是什么? 推导用到那个公式？

生活中哪里有椭圆？如何理解圆和椭圆的关系？

如何定义椭圆？
(1) 椭圆上的点满足什么条件？
(2)（先画再回答）当绳长大于两定点距离时，能画出什么？
当绳长等于两定点距离时，能画出什么？
当绳长小于两定点距离时，能画出什么？
椭圆定义：
叫椭圆的焦点， 叫椭圆的焦距
精讲互动：
一、椭圆标准方程的推导（阅读二、椭圆的标准方程）
设两定点，且，为椭圆上任意一点。
1、能不能依据椭圆的几何特征，建立恰当的直角坐标系？
2、椭圆上任意一点M满足什么条件?

3、这样的条件能否转会成具体的代数形式？
4、如何消去方程中的根式？
5、化简成（—）+=（—）时，如何变形更简洁？
这样，我们就得到： 。
6、得到这样的方程，说明什么？这个过程共分几步？
7、满足方程的解是否在椭圆上？（阅读课本62页小体字）

二、椭圆标准方程（阅读63页抽象概括部分）
1、焦点是，的椭圆的标准方程式是
此方程满足的条件是1） 2） 。
2、焦点是的椭圆的标准方程式是
3、如何用图形解释=+？
在椭圆中分别表示哪些线段的长？


4、当为定值时，椭圆形状的变化与有怎样的关系？



5、下列方程是否是椭圆方程？若是，焦点在哪儿？



10+36=360



回答：（1）如何判断椭圆焦点位置？（2）椭圆方程的一般式可写成
达标训练：
⑴ 焦点在x轴，a=,b=1,求椭圆标准方程；

⑵ 焦点是（0，-4），（0，4）.,a=6，求椭圆标准方程



作业
布置
课本68页A组1、2、4
学习小结/教学
反思

§3.1.1椭圆及其标准方程（2）
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
能根据椭圆定义求出其标准方程，进一步明确的关系及几何意义
重点难点
不同情况下椭圆标准方程的求法
学习
过程
与方
法
自主学习：
（知识回顾）
椭圆的定义是:
焦点在x轴的椭圆标准方程是：
焦点在y轴的椭圆标准方程是：
精讲互动：
1、阅读课本P64例1，回答：
① 顶点A满足什么条件？顶点A的轨迹是什么图形？
② 建立如图2-6直角坐标系， = 2c= ， = = ，
故= ，c= ，b=
③ 顶点A满足的一个轨迹方程是:（写出整个题的解题过程）





④ 为什么要注明y≠0？当焦点在y轴时，顶点A满足的又是什么？


2、阅读课本P64例2，回答：
① 椭圆焦点在什么轴？ 焦距是多少？
② 椭圆上一点到两焦点的距离之和是
③ 之间的关系是？
④ 写出解题过程









达标训练：
⑴ 求符合下列条件的椭圆标准方程：
①两焦点是，椭圆上一点到两焦点的距离和是10


②=，b=1，焦点在x轴


③ 焦点在x轴，焦距等于4，且过P（3，-2）



⑵ 课本P65练习1、2、3.
























作业
布置
课本63页练习1、2、3
学习小结/教学
反思

§3.1.2 椭圆的简单性质
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
依据椭圆图形及标准方程，概括出椭圆的简单性质.掌握4点性质与图形的对应关系，能依据性质画椭圆简图
重点难点
重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是难点
学习
过程
与方
法
自主学习：
【回顾】
①到两定点距离之和等于一定值的点的轨迹一定是椭圆吗？
②方程，表示怎么样的椭圆？（焦点值）
1. 阅读课本P65至66例4前，回答：
标准方程 或中

① 椭圆既是 对称图形，又是 对称图形，其对称轴是 对称中心
是
② 椭圆所有点都在由直线 和 围成的矩形内，所以，椭圆上点的坐标满足

③ 椭圆的四个顶点 其中:
叫 叫
且︱︳= ︱︱=
叫 ，b叫 。
④ 椭圆的离心率是指 ，即e= 显然，
e的范围是 ，e越接近1，椭圆越 e越接近0，椭圆越
2．阅读例4，完成表格：

椭 圆 方 程

b
c
e
焦 点
顶 点







问题：如何画椭圆图像？








3．阅读例5，回答：
1）焦点在 ，2= ，e= ，∴c= ，b= ，标准方程为

2）、焦点在 ，= ，b= ，c= ，标准方程为

4．阅读例6回答：
① 近地点是 ，它到球心的距离是 ，用、c表示是
远地点是 ，它到球心的距离是 ，用 、c表示是
② 由上两式可以解出= ，c= ，∴ = ，标准方程为


精讲互动：
课本68页1




达标训练：
课本68页2



作业
布置
课本68页7、8、9.
学习小结/教学
反思

§3.1.3椭圆练习课
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
依据椭圆图形及标准方程，简单性质.掌握4点性质与图形的对应关系，能依据性质做有关椭圆方面题型
重点难点
重点是由图形和方程观察其性质，灵活应用知识解决有关椭圆问题是难点
学习
过程
与方
法
一求椭圆方程
1、 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率，长轴长是6，则椭圆的方程是___________

2、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，两准线的距离是，焦距为，
其方程为______


二依椭圆定义解题
1、 曲线表示椭圆，那么m的取值是______________


2、已知F1、F2为椭圆的两个焦点，A、B为过F1的直线与椭圆的两个交点，则△ABF2的周长是____________


3、椭圆上一点P到右焦点F2的距离为b，则P点到左准线的距离是_______


4、P是椭圆上一点，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的4倍，则P点的坐标是_______________



5、椭圆的离心率，则m=__________
6、椭圆4x2+2y2=1的准线方程是_______________

三焦点问题
1、 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的值是_____________



2、椭圆的两焦点把准线间的距离三等分，则这椭圆的离心率是______________


3、椭圆的两个焦点坐标是______________



4、椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列，则____________



作业
布置
1、中心在原点，对称轴在坐标轴上，长轴为短轴的2倍，且过的椭圆方程是______
2、已知△ABC，且三边AC、AB、BC的长成等差数列，则顶点C的轨迹方程是_________
3、（2006全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个
焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，求△ABC的周长
学习小结/教学
反思

§3.2.1抛物线及其标准方程(1)
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
掌握抛物线的定义、图像和标准方程
重点难点
重难点是抛物线的标准方程的推导
学习
过程
与方
法
自主学习：
阅读P70页一、抛物线的定义
① 画抛物线的方法？
② 你能从画法中归纳出抛物线的定义吗?
定义有何限制？
这个定点和定直线叫作抛物线的什么？


阅读P70页二、抛物线的标准方程，回答下列问题
①根据抛物线的定义，如何建立坐标系，求其标准方程？


②抛物线的定义和椭圆的定义有什么不同？


③阅读图3-13，方程中的P指图中那条线段的长？焦点的横坐标
和准线方程有什么关系？




④自己推导抛物线的方程













精讲互动：
⑴阅读例一，例二，想一想知道焦点的坐标，或准线方程为什么可求标准方程




⑵P72页的《思考交流》你自己完成？








达标训练：
完成P72页练习























作业
布置
课本P76习题3-2A组1、2、3
学习小结/教学
反思

§3.2.1抛物线及其标准方程（2）
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
①回忆抛物线的定义及标准方程
②抛物线的定义及标准方程中，的几何意义是什么
重点难点
①对函数的几何意义的理解
②抛物线的定义及标准方程在实际生活中的应用
学习
过程
与方
法
自主学习：
阅读P72页，回答以下问题
①函数上的点满足什么条件？

②文中“某定点”，“某直线”指什么点和线？


③如何找到这个点和线？点线距离和点点距离的计算公式有啥区别？



④对要进行怎样变形？变形的手段是什么？


阅读P73页思考交流，回答提出的问题.
想一想，例3还有哪些方法可解？





“车能安全通过隧道”集装箱应在什么位置？判断的依据是什么？
如何建立坐标系求抛物线方程？







精讲互动：
完成P73页的练习















达标训练：
P76习题3-2A组4




















作业
布置
课本P76习题3-2A组5、6
学习小结/教学
反思

§3.2.2抛物线的简单性质
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
依据抛物线图形及标准方程，概括出抛物线的简单性质.掌握性质与图形的对应关系，能依据性质画抛物线简图
重点难点
重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是难点
学习
过程
与方
法
自主学习
【回顾】抛物线的标准方程有：
阅读课本P74至75例5前，回答：标准方程中
A

①抛物线关于 对称，其对称轴叫作抛物线的轴，抛物线只有 对称轴
②抛物线的范围为
③抛物线的顶点
④抛物线的离心率是指 ，即e=
⑤抛物线的通径

2．阅读例5，完成表格：
抛物线方程

焦 点
顶 点







精讲互动：
⑴ 阅读P75《思考交流》自主完成

⑵ 自主完成课本P75练习


达标训练：
⑴ 抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是（ ）













⑵ 抛物线的顶点是椭圆的中心，而焦点是椭圆的左焦点，求抛物线的方程








作业
布置
1求顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线上的抛物线方程
2过抛物线的焦点F作垂直于轴的直线，交抛物线于A、B两点，求以F为圆心，AB为直径的圆的方程

学习小结/教学
反思

§3.3.1双曲线及其标准方程
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
双曲线的定义及其标准方程
重点难点
双曲线定义的理解与标准方程的推导
学习
过程
与方
法
自主学习：
①双曲线的定义 ，
焦点 ，焦距
②焦点在轴双曲线的标准方程 ，焦点在轴双曲线的标准方程

位置
焦点在X轴上
焦点在Y轴上
图形
 F
2
F
1
M
x
O
y

 O
M
F2
F1
x
y

方程
 
 
共性
1、两种方程中，总有a>0 b>0
2、 a、 b、c 满足关系式a2+b2=c2
3、二次项系数为正,焦点在相应的轴上
2.精讲互动
（1）总结：















（2）课本79页例1



（3）课本79页例2





达标训练
（1）课本80页练习1,2













（2）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（　　） Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．












作业
布置
课本83页习题3-3第2,3,4
学习小结/教学
反思

§3.3.2双曲线的简单性质（1）
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
掌握双曲线的对称性，范围，顶点坐标，离心率，渐进线
重点难点
重点：类比椭圆的学习方式学习双曲线的简单性质
难点：运用性质解决数学问题
学习
过程
与方
法
自主学习：
①双曲线的对称性
②与的范围
③定点 ，实轴 ，虚轴
④离心率
⑤渐近线
精讲互动
（1）课本80页例3






（2）已知双曲线的离心率为，求的范围









（3）若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，求双曲线的标准方程








达标训练
(1)课本82页练习1







（2）课本82页练习2








（3）经过点 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程是
　　A． ；　　B． ；
C． ；　　D．








作业
布置
课本83页习题3-3第5,6,7
学习小结/教学
反思

§3.3.2双曲线的简单性质(2)
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
复习课
主备课人
李春侠
学习
目标
1.掌握椭圆和双曲线的定义方程及性质
2.类比学习椭圆﹑双曲线方程和性质
重点难点
重点:椭圆双曲线的简单性质的类比
难点:椭圆双曲线的简单性质的应用
学习
过程
与方
法

椭圆
双曲线

方程


关系



图形


范围


对称性



顶点


自主学习：

精讲互动
(1) 求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程


(2)求与双曲线共渐近线,且经过点的双曲线的方程及离心率



(3)求以椭圆焦点为顶点,而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.




达标训练
(1) 已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程











(2) 已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．












作业
布置
已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，求双曲线的方程
学习小结/教学
反思

§3.4.1曲线与方程
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
1.了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.
2.会判定一个点是否在已知曲线上
重点难点
重点:曲线与方程的对应关系,感受数形结合的思想
难点:方程的曲线,曲线的方程的理解
学习
过程
与方
法
自主学习：
(1)方程的曲线,曲线的方程的含义:

(2)阅读课本84页完成下列问题
①到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是吗?


②已知方程的曲线经过点和点，求、的值



精讲互动
(1)课本85页例1










(2)若直线与的交点在曲线上,求的值







达标训练
(1)课本86页练习1





(2) 课本86页练习2






(3) 课本86页练习3











(4) 已知方程 表示的曲线F经过点，求m的值








作业
布置
课本89页习题3-4第1,2
学习小结/教学
反思

§3.4.2圆锥曲线的共同特征
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
了解圆锥曲线的共同特征，曲线方程的基本求法
重点难点
总结曲线的共同特征与曲线方程的基本求法
学习
过程
与方
法
自主学习：
（1） 椭圆的定义
（2） 椭圆的标准方程 ，
（3） 双曲线的定义
（4） 双曲线的标准方程 ，
（5） 抛物线的定义
（6） 抛物线的标准方程 ， ， ，
（7） 圆锥曲线的共同特征
不同之处

精讲互动
（1） 课本86页例2






结论：椭圆是定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点所形成的曲线
（2）曲线上的点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数 ①求曲线方程 ②指出与例2的相同处和不同处








达标训练
（1）课本87页练习1














（2） 课本87页练习2
















作业
布置
课本89页习题3-4第1，2，4
学习小结/教学
反思

§3.4.3直线与圆锥曲线的交点
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
用坐标法解决一些简单的直线与圆锥曲线的交点
重点难点
两曲线交点坐标与方程组实数解之间关系的理解
学习
过程
与方
法
自主学习：
(1) 过点（2，4）作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条





（2）方程组的实数解与曲线上点的坐标之间的关系


精讲互动
(1) 课本87页例3








（2） 课本88页例4










达标训练
（1） 课本89页练习1















（2） 课本89页练习2
















作业
布置
课本89页习题3-4第3，5,7
学习小结/教学
反思

§3.5本章小结
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
复习课
主备课人
李春侠
学习
目标
1. 掌握椭圆﹑抛物线﹑双曲线的定义﹑标准方程和简单的几何性质
2. 了解曲线和方程的概念，会求简单曲线的方程
重点难点
重点：椭圆﹑抛物线﹑双曲线的定义﹑标准方程和简单的几何性质
难点：用代数的方法研究几何问题
学习
过程
与方
法
自主学习：
椭圆的定义
椭圆的标准方程 ，
双曲线的定义
双曲线的标准方程 ，
抛物线的定义
抛物线的标准方程 ， ， ，


精讲互动
(1)已知双曲线的渐近线方程为 ，则此双曲线的（      ）．
　　A．焦距为10　　　　　　　　B．实轴和虚轴长分别是8和6
C．离心率是 或 　　　　　 D．离心率不确定

(2)已知双曲线的两条渐近线方程为 ，一条准线方程为 ，求双曲线方程










达标训练
(1)若方程 表示的曲线是一组双曲线，则这组双曲线（      ）．
　　A．有相同的实轴和虚轴　　　　B．有共同的焦点
C．有共同的准线　　　　　　　D．有相同的离心率



(2)设双曲线=1（0＜a＜b＝的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点,已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为 （ ）
A．2 B． C． D．





(3) 已知双曲线的离心率为，则的范围为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．






作业
布置
课本96页复习题三第6,7,8
学习小结/教学
反思