2012数学第7章7.3知能优化训练（湘教版选修1-2）

1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．2i

C．6   D．6－2i

解析：选D.由z＋i－3＝3－i知z＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.

2．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为(　　)

A．5－6i   B．3－5i

C．－5＋6i   D．－3＋5i

解析：选A.(－i＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i＝5－6i.

3．(2010年高考安徽卷)已知i2＝－1，则i(1－i)＝(　　)

A.－i   B.＋i

C．－－i   D．－＋i

解析：选B.i(1－i)＝i－i2＝＋i.

4．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.

解析：∵z＝i(2－z)，

∴z＝2i－iz，

∴(1＋i)z＝2i，

∴z＝＝1＋i.

答案：1＋i

一、选择题

1．(2011年高考福建卷)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)

A．i∈S   B．i2∈S

C．i3∈S   D.∈S

解析：选B.因为i2＝－1∈S，i3＝－i∉S，＝－2i∉S，故选B.

2．i是虚数单位，则()4等于(　　)

A．i   B．－i

C．1   D．－1

解析：选C.()4＝[()2]2＝()2＝1.故选C.

3．一元二次方程x2＋2x＋3＝0的根为(　　)

A．－1±   B．－1±i

C.±1   D.±i

解析：选B.因为Δ＝4－12＝－8<0，

所以方程有两不相等的虚数根为，

即－1±i.

4．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(　　)

A．4＋2i   B．2＋i

C．2＋2i   D．3＋i

解析：选A.∵z1＝1＋i，z2＝3－i，

∴z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.故选A.

5．(2011年高考重庆卷)复数＝(　　)

A．－－i   B．－＋i

C.－i   D.＋i

解析：选C.＝＝＝＝＝－i.

6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)

A．2i   B．i

C．－i   D．－2i

解析：选D.设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.

二、填空题

7．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.

解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，∴

解得a＝－1.

答案：－1

8．已知f(z＋i)＝3z－2i，则f(i)＝________.

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

f[a＋(b＋1)i]＝3(a＋bi)－2i＝3a＋(3b－2)i，

令a＝0，b＝0，则f(i)＝－2i.

答案：－2i

9．已知复数z＝1＋i，则－z＝________.

解析：－z＝－1－i＝－1－i＝－2i.

答案：－2i

三、解答题

10．计算：(1)＋()2012；

(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．

解：(1)＋()2012＝＋()1006

＝i(1＋i)＋()1006＝－1＋i＋(－i)1006

＝－1＋i－1＝－2＋i.

(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)

＝22－14i＋25－25i

＝47－39i.

11．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．

(1)求b，c的值；

(2)试说明1－i也是方程的根．

解：(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，

∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，

即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.

∴，得.

(2)方程为x2－2x＋2＝0.

把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．

12．解方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0(k∈R)．

解：Δ＝[－(k＋1)]2－4(k2＋1)＝2k－3.

(1)当Δ≥0，即k≥时，

方程有两不相等的实根，

即±.

(2)当Δ<0，即k<时，

方程有两不相等的虚根±i.