2012数学第7章7.4知能优化训练（湘教版选修1-2）

1．复数z＝＋i2对应点在复平面(　　)

A．第一象限内   B．实轴上

C．虚轴上   D．第四象限内

解析：选B.∵z＝＋i2＝－1∈R，

∴z对应的点在实轴上，故选B.

2．(2011年高考江西卷)若z＝，则复数＝(　　)

A．－2－i   B．－2＋i

C．2－i   D．2＋i

解析：选D.z＝＝＝＝2－i，∴＝2＋i.

3．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)

A．－10＋8i   B．10－8i

C．0   D．10＋8i

解析：选C.＋对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0.

4．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝________.

解析：∵z＝1－2i，∴z·＝|z|2＝5.∴z·＋z＝6－2i.

答案：6－2i

一、选择题

1．(2011年高考课标全国卷)复数的共轭复数是(　　)

A．－i　　　　　　　　 B.i

C．－i   D．i

解析：选C.法一：∵＝

＝＝i，

∴的共轭复数为－i.

法二：∵＝＝＝i，

∴的共轭复数为－i.

2．把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·＝(　　)

A．3－i   B．3＋i

C．1＋3i   D．3

解析：选A.(1＋z)·＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.

3．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选D.∵<2<π，∴sin2>0，cos2<0.

故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限．故选D.

4．(2011年高考辽宁卷改编)a为正实数，i为虚数单位，z＝1－ai，若|z|＝2，则a＝(　　)

A．2   B.

C．－   D．1

解析：选B.|z|＝|1－ai|＝＝2，∴a＝±，

而a是正实数，∴a＝.

5．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是(　　)

A.   B.i

C.＋i   D.＋2i

解析：选C.设这个复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z＋|z|＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i，

∴，解得.

∴z＝＋i.

6．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选D.∵z1＋z2＝(3－4i)＋(－2＋3i)

＝(3－2)＋(－4＋3)i＝1－i，

∴z1＋z2对应的点为(1，－1)，在第四象限．

二、填空题

7．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．

解析：表示－对应的复数，由－2－5i－(4＋3i)＝－6－8i，知对应的复数是－6－8i.

答案：－6－8i

8．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．

解析：复数z在复平面上对应的点为(m－3,2)，

∴m－3＝2，即m－2－3＝0.

解得m＝9.

答案：9

9．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝________.

解析：∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，

∴解得a＝1，∴z＝2i.∴|z|＝2.

答案：2

三、解答题

10．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．

解：∵z＝3＋ai(a∈R)，

∴|z|＝，

由已知得32＋a2<42，

∴a2<7，∴a∈(－，)．

11．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i

(1)对应点在x轴上方；

(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．

解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5.

故当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，

得m＝或m＝.

故当m＝或m＝时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．

12．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A、B两点之间的距离．

解：由题意知，

向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.

∵＝－，

∴向量对应的复数为

(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.

A、B两点之间的距离为

|－8－2i|＝＝2.