2012数学第7章章末综合检测（湘教版选修1-2）

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题中正确的是(　　)

A．复数a＋bi的实部是a，虚部是b

B．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0

C．若a>b，则a＋i>b＋i

D．两个虚数不能比较大小

解析：选D.对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数，在A中忽略了a，b∈R这一条件，若a＝2i，b＝i，则a＋bi＝2i－1，此复数的实部为－1，虚部为2，而非实部为a，虚部为b，故A错；

在B中，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0，故B错误；

在C中，两个虚数不能比较大小，故C错误；D正确．

2．(2010年高考湖北卷)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)

A．E　　　　　　　　　　 B．F

C．G   D．H

解析：选D.由图知复数z＝3＋i，

∴＝＝＝＝2－i.

∴表示复数的点为H.故选D.

3．(2010年高考北京卷)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)

A．4＋8i   B．8＋2i

C．2＋4i   D．4＋i

解析：选C.复数6＋5i对应的A点坐标为(6,5)，－2＋3i对应的B点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

4．(2011年高考大纲全国卷)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z －z－1＝(　　)

A．－2i   B．－i

C．i   D．2i

解析：选B.∵z＝1＋i，

∴＝1－i，

∴z·＝|z|2＝2，

∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.

5．(2011年高考安徽卷)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)

A．2   B．－2

C．－   D.

解析：选A.＝·＝，

∵为纯虚数，

∴∴a＝2.

6．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为(　　)

A．x＝－1，y＝1   B．x＝－1，y＝2

C．x＝1，y＝1   D．x＝1，y＝2

解析：选D.∵(x＋i)(1－i)＝(x＋1)＋(1－x)i，

∴(x＋1)＋(1－x)i＝y.

∴

∴故选D.

7．若M＝{x|x＝in，n∈N＋}，N＝{x|>－1}(其中i为虚数单位)，则M∩(CRN)＝(　　)

A．{－1,1}   B．{－1}

C．{－1,0}   D．{1}

答案：B

8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝(　　)

A．－1   B．1

C．2   D．3

解析：选B.∵＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.

∴a＝－1，b＝2，

∴a＋b＝1.故选B.

9．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则(　　)

A．a＝，b＝   B．a＝3，b＝1

C．a＝，b＝   D．a＝1，b＝3

解析：选A.∵＝1＋i，

∴a＋bi＝＝＝，

∴a＝，b＝.故选A.

10．若z＝，则z100＋z50＋1的值是(　　)

A．1   B．－1

C．－i   D．i

解析：选D.z＝＝，

z100＋z50＋1＝()100＋()50＋1

＝()50＋()25＋1＝i50＋i25＋1

＝i2＋i＋1＝i.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)

11．(2011年高考江苏卷)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．

解析：设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，

∴a＋1＝2，∴a＝1.

答案：1

12．已知复数z的模为10，虚部为－8，则复数z＝________.

解析：设z＝a－8i，∵|z|＝10，

∴＝10，

∴a＝±6，

∴z＝±6－8i.

答案：6－8i或－6－8i

13．复数3－4i的平方根为________．

解析：令(x＋yi)2＝3－4i，

可得或.

答案：±(2－i)

14．当k>3时方程kx2－2x＋k－2＝0的根为________．

解析：∵k>3，

∴Δ＝b2－4ac＝4－4k(k－2)＝－4k2＋8k＋4

＝－4(k－1)2＋8<0，

∴方程有两不等虚根±i.

答案：±i

15．(2011年长春高二检测)设z1是复数，z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部是________．

解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，

则1＝a－bi，

∴z2＝a＋bi－i(a－bi)

＝(a－b)－(a－b)i.

由已知得a－b＝1.

∴z2的虚部为－1.

答案：－1

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分13分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：

(1)z1·z2；(2).

解：z2＝＝1－3i.

(1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.

(2)＝＝＋i.

17．(本小题满分13分)已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？

解：∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，

－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，

∴z的实部为正数，虚部为负数，

∴复数z所对应的点在第四象限．

设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则

消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，

∴复数z对应点的轨迹是一条射线，

其方程为y＝－x＋2(x≥3)．

18．(本小题满分13分)在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2－i.

(1)如果点A关于直线x＝3的对称点为点B，求向量对应的复数；

(2)如果点A关于直线y＝－x的对称点为C，求向量对应的复数．

解：(1)根据复数的几何意义知A(2，－1)，

A(2，－1)关于直线x＝3的对称点为B(4，－1)，

所以对应的复数为4－i.

(2)由(1)知点A(2，－1)，

A(2，－1)关于直线y＝－x的对称点为C(1，－2)．

所以对应的复数为1－2i.

19．(本小题满分12分)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1－i.

(1)求z；

(2)求实数a，b的值．

解：(1)z＝＝＝1＋i.

(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，

即(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，

得a＋b＋(2＋a)i＝1－i.

所以，

解得a＝－3，b＝4.

所以实数a，b的值分别为－3,4.

20．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个方程的实根以及实数k的值．

解：设x0是方程的一个实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件得，

解得或.

当实根为时，k＝－2；当实根为－时，k＝2.

21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3.

(1)求|z1|；

(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．

解：

(1)|z1|＝|i(1－i)3|

＝|i|·|1－i|3＝2.

(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．

所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.