高二数学知能优化训练 湘教版必修5：12.4 《数据的相关性》

1．下列关系中为相关关系的有(　　)

①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；

②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；

③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；

④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．

A．①②　　　　　　　 B．①③

C．②③   D．②④

解析：选A.由相关关系的定义知，①②为相关关系，③④无相关关系．

2．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归方程作出解释；

②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；

③求回归直线方程；

④求相关系数；

⑤根据所搜集的数据绘制散点图．

如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是(　　)

A．①②⑤③④   B．③②④⑤①

C．②④③①⑤   D．②⑤④③①

解析：选D.由线性回归分析的步骤可知．

3．(2011年高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)

A．63.6万元   B．65.5万元

C．67.7万元   D．72.0万元

解析：选B.由表可计算＝＝，＝＝42，因为点(，42)在回归直线＝x＋上，且为9.4，所以42＝9.4×＋，解得＝9.1，故回归方程为＝9.4x＋9.1，令x＝6得＝65.5，选B.

4．下列关系中，属于相关关系的是________．

①正方形的边长与面积之间的关系；

②农作物的产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系；

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

解析：在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．

答案：②④

一、选择题

1．下列变量之间的关系是函数关系的是(　　)

A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac

B．光照时间和果树亩产量

C．降雪量和交通事故发生率

D．父母的身高和子女的身高

解析：选A.B、C、D选项是相关关系．故选A.

2．试从下面四个图中的点在散点图上的分布状态，直观上初步判断两个变量之间有线性相关关系的是(　　)

解析：选C.在图A中点的分布毫无规则，横轴、纵轴表示的两个变量之间的相关程度很小．在图B中所有的点严格地分布在一条直线上，横轴、纵轴表示的两个量之间有确定的关系——函数关系．在图C中，点的分布基本上集中在一个带状区域内，横轴、纵轴表示的两个变量之间有相关关系——当一个变量变化时，另一个变量的值虽然不能完全确定，但大体上总是落在带状区域内，这时我们可以寻找一条合适的直线来近似表示两个变量之间的关系(如图中的直线)，即两个变量之间的关系可以近似地表示成线性关系，因此这两个变量具有线性相关关系．图D与图C类似，点的分布基本上也集中在由某条曲线两侧组成的带状区域内，因此横轴、纵轴表示的两个变量也有相关关系，只是它是非线性相关关系．

3．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(　　)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：选C.图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相关；图(2)中的数据v随着u的增大而增大，因此u与v正相关．

4．(2010年高考湖南卷)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)

A．y＝－10x＋200　　　　　 B．y＝10x＋200

C．y＝－10x－200   D．y＝10x－200

解析：选A.可判断B、D正相关，C不合实际意义．

5．两个相关变量满足如下关系：

两变量的回归直线方程为(　　)

A．y＝0.56x＋997.4   B．y＝0.63x－231.2

C．y＝50.2x＋501.4   D．y＝60.4x＋400.7

解析：选A.b＝＝0.56，

a＝－b＝997.4，

所以回归直线方程为＝0.56x＋997.4.所以选A.

6．在2011年3月15日那天，济宁市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商品的售价x元与销售量y件之间的一组数据如下表所示：

由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是：y＝－3.2x＋a，则a＝(　　)

A．24   B．35.6

C．40   D．40.5

解析：选C.易求＝＝10，

＝＝8，

∴y＝－3.2x＋a一定过(10,8)，

∴8＝－3.2×10＋a，∴a＝40.

二、填空题

7．下列说法：

①回归方程适用于一切样本和总体；

②回归方程一般都有局限性；

③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；

④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．

正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．

解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错．

答案：②③

8．(2010年高考广东卷)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是______，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．

解析：2005～2009年居民家庭的年平均收入按从小到大排列依次为：11.5、12.1、13、13.3、15，由中位数定义知年平均收入的中位数是13万元．由统计资料可知家庭年平均收入与年平均支出具有正线性相关关系．

答案：13　正

9．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为y＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高178 cm，她的体重应该在________kg左右．

解析：用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，y＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．

答案：69.96

三、解答题

10．某调查机构为了了解某地区的家庭收入水平与消费支出的相关情况，抽查了多个家庭，根据调查资料得到以下数据：每户平均年收入为88000元，每户平均年消费支出为50000元，支出对于收入的回归系数为0.6.

(1)求支出对于收入的回归方程；

(2)年收入每增加100元，年消费支出平均增加多少元？

(3)若某家庭年消费支出为80000元，试估计该家庭的年收入为多少元？

解：(1)设年收入为x元，年支出为y元，知＝88000元，＝50000元，b＝0.6，则a＝－b＝50000－0.6×88000＝－2800.故支出对于收入的回归方程为y＝0.6x－2800.

(2)年收入每增加100元，年消费支出平均增加60元．

(3)某家庭年消费支出为80000元，根据回归方程y＝0.6x－2800，可得80000＝0.6x－2800，解得x＝138000，即估计该家庭的年收入为138000元．

11．要分析学生升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表所示：

表中x是学生入学成绩，y是高一年级期末考试数学成绩．

(1)画出散点图，若y与x有线性相关关系，求回归直线方程；

(2)若小明的入学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩为多少？

解：(1)作出散点图如图所示，制表：

从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．

可求得＝(63＋67＋…＋76)＝70，

＝(65＋78＋…＋75)＝76，

∴b＝＝≈0.766，

a≈76－0.766×70＝22.38.

所求的线性回归方程为y＝0.766x＋22.38.

(2)若小明的入学成绩为80分，代入(1)中的回归直线方程得y＝0.766×80＋22.38≈84(分)．

12．下面是某市一周内申请领结婚证的新郎和新娘的年龄，记为(y，x)，其中新郎年龄为y，新娘年龄为x.

(37,30)，(30,27)，(65,56)，(45,40)，(32,30)，(28,26)，(45,31)，(29,24)，(26,23)，(28,25)，(42,29)，(36,33)，(33,29)，(24,22)，(32,33)，(21,29)，(37,46)，(28,25)，(33,34)，(21,23)，(24,23)，(49,44)，(28,29)，(30,30)，(24,25)，(22,23)，(68,60)，(25,25)，(32,27)，(42,37)，(24,24)，(24,22)，(28,27)，(36,31)，(23,24)，(30,26)．

以下考虑y关于x的回归问题：

(1)如果每个新郎和新娘都同岁，穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？

(2)如果每个新郎都比新娘大5岁，穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？

(3)如果每个新郎都比新娘大10%，穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？

(4)对上面的实际年龄求回归方程，你从新郎和新娘的年龄模型中可得出什么结论？

解：(1)当y＝x时，易得b＝1，a＝0.

故回归直线的斜率为1，截距为0.

(2)当y＝x＋5时，易得b＝1，a＝5.

故回归直线的斜率为1，截距为5.

(3)当y＝x(1＋10%)时，易得b＝1.1，a＝0.

故回归直线的斜率为1.1，截距为0.

(4)回归直线为y＝1.1x－1.1.

从回归方程可以看出，新郎的年龄一般比新娘的年龄大，尤其是在大龄夫妇中．