2012数学第5章章末综合检测（湘教版选修1-2）

(时间：120分钟；满分：150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的(　　)A．充分条件　　　　　　　 B．必要条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件解析：选A.根据分析法的定义可知选A.2．下面四个推理不是合情推理的是(　　)A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：选C.归纳推理和类比推理都是数学活动中常见的合情推理．A是类比推理；B是归纳推理；C不属于合情推理；D是归纳推理．故选C.3．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b.则画线部分是演绎推理的(　　)A．大前提   B．小前提C．结论   D．三段论解析：选B.由题意知，该推理中的大前提为：三角形中大角对大边；小前提为：∠A<∠B；结论为a<b，故选B.4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B.根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60°”．故选B.5．(2011年高考上海卷)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2＞2ab　　　　　　 B．a＋b≥2C.＋＞   D.＋≥2解析：选D.∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B、C，当a＜0，b＜0时，明显错误．对于D，∵ab＞0，∴＋≥2＝2.6．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下： 　　那么d⊗(a⊕c)＝(　　)A．a   B．bC．c   D．d解析：选A.由所给运算知a⊕c＝c，因此d⊗c＝a，故选A.7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面(　　)A．各正三角形内某点B．各正三角形的某高线上的某点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是(　　)A．甲   B．乙C．丙   D．丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理，可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．故选C.9．(2011年汉中调研)已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于(　　)A．10   B．9C．8   D．7解析：选B.∵a>0，b>0，∴2a＋b>0.∴不等式可化为m≤(2a＋b)＝5＋2.∵5＋2≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m≤9，即m的最大值等于9.10．已知：f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))(n>1，n∈N＋)，则猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为(　　)A．fn(x)＝  B．fn(x)＝C．fn(x)＝  D．fn(x)＝解析：选A.由f1(x)＝f(x)，得f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…由此猜想fn(x)＝(n∈N＋)．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是________．解析：a＋b>a＋b⇔(－)2(＋)>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b12．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f()．若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.答案：13．观察下列等式：C＋C＝23－2，C＋C＋C＝27＋23，C＋C＋C＋C＝211－25，C＋C＋C＋C＋C＝215＋27，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N＋，C＋C＋…＋C＝________.答案：24n－1＋(－1)n·22n－114．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行、第n＋1列的数是________．解析：由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行、第n＋1列的数是：n2＋n.答案：n2＋n15．已知＝2，＝3，＝4，…，若 ＝6(a，t均为正实数)，则类比以上等式可推测a，t的值，a＋t＝________.解析：a＝6，t＝a2－1＝36－1＝35，则a＋t＝41.答案：41三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分13分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N＋)①通项an＝am＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．解：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为S，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N＋)①通项bn＝bm·λn－m；②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b；④S，S－S，S－S构成等比数列．17．(本小题满分13分)已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：、、不可能成等差数列．证明：假设、、成等差数列，则＝＋＝.①而a、b、c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴b＝，代入①式得＝.∴(a＋c)2＝4ac.∴a2＋2ac＋c2＝4ac.∴a2－2ac＋c2＝0.∴(a－c)2＝0.∴a＝c.这与已知a≠c矛盾，故假设不成立．∴、、不可能成等差数列．18．(本小题满分13分)设a、b为实数，求证：≥(a＋b)．证明：当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴≥(a＋b)显然成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证 ≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．19．(本小题满分12分)(2011年高考安徽卷)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.又由于1<a≤b≤c，所以x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)知所要证明的不等式成立．20．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)．(1)求证：an＋1≠an；(2)令a1＝，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)．解：(1)证明：假设an＋1＝an，即＝an，解得an＝0或1.从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0或1，这与题设a1>0，a1≠1相矛盾，所以an＋1＝an不成立．故an＋1≠an成立．(2)由题意得a1＝，a2＝， a3＝，a4＝，a5＝，由此猜想：an＝.21．(本题满分12分)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D.(1)求证：＝＋；(2)在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：(1)(1)证明：如图(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝＝＝.又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.(2)猜想：在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.理由如下：(2)如图(2)，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ADC中，AF⊥CD，∴＝＋.∵＝＋＋，故猜想正确．