2012数学第5章5.1.1知能优化训练（湘教版选修1-2）
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1．(2011年大庆模拟)给出下列推理：
①由A，B为两个不同的定点，动点P满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|，得点P的轨迹为双曲线；
②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为S＝abπ；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
其中是归纳推理的命题个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由题意知只有②是归纳推理．
2．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于( )
A．2n B.n(n＋1)
C．2n－1 D．2n－1
解析：选C.a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….
猜想当n≥1时，an＝2n－1.
3．(2010年高考山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D.通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数，故选D.
4．(2011年高考陕西卷)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________．
解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B.∵a1＝1，S2＝a1＋a2＝22·a2，∴3a2＝a1，∴a2＝；
由S3＝a1＋a2＋a3＝32·a3，∴8a3＝，∴a3＝；
由S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，
∴15a4＝，∴a4＝.
归纳得，an＝，故选B.
2．(2011年泰安模拟)设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(x)，…，fn＋1(x)＝f(x)(n∈N＋)，则f2011(x)＝( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
解析：选A.由条件知f0(x)＝cosx，
f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，
f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，…，
故函数f(x)以4为周期循环出现，故f2011(x)＝sinx.
3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．
试求第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：选B.第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.
4．n个连续自然数按规律排成下表
01234567891011…
根据规律，从2009到2011，箭头的方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：选B.观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2009到2011为→↑.
5．(2011年临汾模拟)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij(i，j∈N＋)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2011，则i与j的和为( )
A．105 B．106
C．107 D．108
解析：选D.由三角形数表可以看出，其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2011＝2×1005＋1，所以2011为第1006个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2011在第32个奇数行内，所以i＝63；因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2011＝1923＋2(j－1)，所以j＝45.
∴i＋j＝108.
6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1024
C．1225 D．1378
解析：选C.设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项为an，则a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，
an－an－1＝n.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝(n≥2)．
当n＝1时，有a1＝＝1，
∴an＝.
图(2)中数列1,4,9,16，…的通项为：bn＝n2.
故所给四个选项中只有1225满足
a49＝＝b35＝352＝1225.
故选C.
二、填空题
7．(2010年高考陕西卷)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________．
解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，
即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
8．(2011年高考山东卷)设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
所以当n∈N＋且n≥2时，
fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
答案：
9．(2010年高考福建卷)观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4 α－8cos2 α＋1；
③cos 6α＝32cos6 α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
解析：观察各式容易得m＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.
对于等式⑤，令α＝60°，则有
cos 600°＝512·－1280·＋1120·＋n＋p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，
联立方程组得
∴m－n＋p＝962.
答案：962
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
解：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，
∴＋Sn－1＋2＝0.
当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
11．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的结论，并给出证明．
解：一般性的结论为sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.
证明：左边
＝＋＋
＝－[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)]
＝－(cos2αcos120°＋sin2αsin120°＋cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°)
＝－＝
＝右边，即该一般性结论成立．
12．设{an}是集合{2t＋2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，….将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：
(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；
(2)求a100.
解：(1)将前三行各数分别写成2t＋2s的形式：
第1行：3＝21＋20；
第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；
第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；
由此归纳猜想：
第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23；
第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.
经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；
第5行各数依次是：33,34,36,40,48.
(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91个数．
因此，a100应当是第14行中的第9个数．
所以a100＝214＋28＝16640.
