数学同步训练 湘教版必修5：第13章 概率 章未综合检测

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是(　　)

A．频率就是概率

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率

D．概率是随机的，在试验前不能确定

解析：选C.由频率与概率的关系及概率的定义C对．

2．下列试验是古典概型的是(　　)

A．从装有大小完全相同的红、绿、黑各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色

B．在适宜条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽

C．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，观察出现正面、反面、一正面一反面的次数

D．从一组直径为(120±0.3) mm的零件中取出一个，测量它的直径

解析：选A.由古典概型的定义可知．

3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论哪个是最准确的是(　　)

A．A与C互斥　　　　　　　 B．B与C互斥

C．任何两个相互斥   D．任何两个都不互斥

解析：选C.由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．

4．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.恰有一个合格的概率：＝.

5．从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)

A．至少有1个白球，都是白球

B．至少有1个白球，至少有1个红球

C．恰有1个白球，恰有2个白球

D．至少有1个白球，都是红球

解析：选C.由互斥事件与对立事件定义可得．

6．(2010年高考安徽卷)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.所有基本事件总数为6×6＝36种，

甲选正方形边时垂直的情况为8种，甲选对角线时垂直的情况有2种，故概率为＝，选C.

7．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个不相等的实根的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D.由题意知Δ＞0，即4a2－2＞0，解得a＞或a＜－(不符合题意，舍去)．∵a＞，∴P＝＝.

8．如图，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A.可求得同时落在奇数所在区域的基本事件有4×4＝16种，而总的基本事件有6×6＝36种，于是由古典概率公式可得所求概率为＝.

9．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则该射手在一次射击中射中10环或9环的概率是(　　)

A．0.44   B．0.56

C．0.21   D．0.23

解析：选A.由互斥事件定义可得：所求概率为：0.21＋0.23＝0.44.

10．两根相距6 m的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是(　　)

A.   B.

C．0   D．1

解析：选B.由已知得：P＝＝.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上)

11．有五条线段，长度分别是1,2,5,7,9，从这五条线段中任取三条，则以所得的三条线段为边不能构成三角形的概率为________．

解析：从五条线段中任取三条共有10种结果，能构成三角形的结果有3,5,7或3,7,9或5,7,9，共3种，所以不能构成三角形的结果有7种，故所求概率为P＝＝0.7.

答案：0.7

12．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现由10个人依次摸出1个球，设第一个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第十个人摸出黑球的概率是P10，则P1与P10的关系是________．

解析：第一个人摸出黑球的概率为，第10个人摸出黑球的概率也是，所以P10＝P1.

答案：P10＝P1

13．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有________分钟广告．

解析：这是一个与时间长度有关的几何概率，这人看不到广告的概率为，则看到广告的概率约为，故60×＝6(分钟)．

答案：6

14．如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．

解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概率公式，S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)·b＝ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为＝＝.

答案：

15．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．

解析：在5个长度中一次随机抽取2个，则有(2.5，2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6，2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)共10种情况．

满足长度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.8)，(2.6，2.9)，共2种情况，所以它们的长度恰好相差0.3 m的概率为P＝＝.

答案：

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)2010年11月17日，在广州亚运会射击赛场上，中国选手王成意发挥出色，获女子50米步枪三种姿势金牌，伊朗美女伊拉希·艾哈迈迪获得银牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：

请根据上表回答以下问题：

(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；

(2)根据两表中的数据预测两位运动员在奥运会上每次击中10环以上的概率．

解：(1)两位运动员击中10环以上的频率为：

王成意：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；

艾哈迈迪：0.8,0.85,0.88,0.93,0.885,0.908.

(2)由(1)中的计算数据的结果可以知道，两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.90这个值的附近，所以两人每次击中10环以上的概率都约为0.90，也就是说两人的实力相当．

17．(本小题满分12分)一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球：

(1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？

解：(1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1,2)表示)：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．

因此，共有10个基本事件．

(2)如图，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝.

18．(本小题满分12分)现有一批产品共有10件，其中8件正品，2件次品．

(1)如果从中取出1件，然后放回，再任取1件，求连续2次取出的都是正品的概率；

(2)如果从中一次取2件，求2件都是正品的概率．

解：(1)为返回抽样问题．每次抽样都有10种可能，连续取2次，所以等可能出现的结果为102种，设事件A为“两次返回抽样，取出的都是正品”，则A包含的结果为82种．

∴P(A)＝＝.

(2)为不返回抽样问题，可视为有顺序性，从中取第一次有10种结果，取第二次有9种不同结果，所以从10件产品中一次取2件，所有等可能出现的结果是10×9＝90种．设B表示“一次抽2件都是正品”，则B包含的结果有8×7＝56种．

∴P(B)＝＝.

19．(本小题满分13分)(2010年高考天津卷)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．

(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；

(2)从一等品零件中，随机抽取2个．

①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；

②求这2个零件直径相等的概率．

解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．

设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.

(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．

②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝＝.

20．(本小题满分13分)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．

解：

以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.如图平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概率公式得P(A)＝＝＝.

21．(本小题满分13分)(2010年高考湖南卷)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).

(1)求x，y；

(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．

解：(1)由题意可得，＝＝，所以x＝1，y＝3.

(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．

设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3种，因此P(X)＝.故选中的2人都来自高校C的概率为.