数学同步训练 湘教版必修5：第12章 统计学初步 章未综合检测

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

解析：选D.对每个选项逐条落实简单随机抽样的特点．A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．

2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(　　)

A．7　　　　　　　　　　　 B．15

C．25   D．35

解析：选B.由题意知青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.

3．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的有(　　)

A．0个   B．1个

C．2个   D．3个

解析：选C.一组数据的众数不唯一，即①不对；一组数据的方差必须是非负数，即②不对；根据方差的定义知③正确；根据频率分布直方图的概念知④正确．

4．对一个样本容量为100的数据分组，各组的频率如下：

[17,19)，1；[19,21)，1；[21,23)，3；[23,25)，3；[25,27)，18；[27,29)，16；[29,31)，28；[31,33]，30.

根据累积频率分布，估计小于29的数据大约占总体的(　　)

A．42%   B．58%

C．40%   D．16%

解析：选A.数据小于29(不包括29)的频数为1＋1＋3＋3＋18＋16＝42.故其所占比例为＝42%.

5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　)

A．甲地：总体均值为3，中位数为4

B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0

C．丙地：中位数为2，众数为3

D．丁地：总体均值为2，总体方差为3

解析：选D.根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.

6．两个样本，甲：5,4,3,2,1；乙：4,0,2,1，－2.那么样本甲和样本乙的波动大小情况是(　　)

A．甲乙波动大小一样  B．甲的波动比乙的波动大

C．乙的波动比甲的波动大  D．甲乙的波动大小无法比较

解析：选C.样本甲：1＝＝3.

∴＝×[(5－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(1－3)2]＝2.

样本乙：2＝[4＋0＋2＋1＋(－2)]＝1.

∴＝×[(4－1)2＋(0－1)2＋(2－1)2＋(1－1)2＋(－2－1)2]＝4.

显然＜，故样本乙的波动比甲的波动大．

7．为了研究两个变量x与y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知在两个人的试验中发现对变量x的观察数据的平均数恰好相等，都为s，对变量y的观察数据的平均数也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是(　　)

A．直线l1和l2有交点(s，t)

B．直线l1和l2相交，但是交点未必是(s，t)

C．直线l1和l2平行

D．直线l1和l2必定重合

解析：选A.∵线性回归方程为y＝bx＋a，而a＝－b，

∴a＝t－bs，即t＝bs＋a，∴点(s，t)在回归直线上，

∴直线l1和l2有交点(s，t)．

8．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选D.由平均数为10，

得(x＋y＋10＋11＋9)×＝10，

则x＋y＝20；又由于方差为2，

则[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×＝2，故x2＋y2＝208，∴2xy＝192，

所以有|x－y|＝＝＝4，故选D.

9．下列调查的样本不合理的是(　　)

①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；

②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；

③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；

④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取3名学生进行调查．

A．①②   B．①③

C．②③   D．②④

解析：选B.①中样本不符合有效性原则，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系．③中样本缺少代表性．②、④都是合理的样本．故选B.

10．某大学共有学生5600人，其中有专科生1300人、本科生3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取(　　)

A．65人、150人、65人   B．30人、150人、100人

C．93人、94人、93人   D．80人、120人、80人

解析：选A.抓住分层抽样按比例抽取的特点有＝＝＝，∴x＝z＝65，y＝150，即专科生、本科生与研究生应分别抽取65人、150人、65人．

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上)

11．若总体中含有1645个个体，采用系统抽样的方法从中抽取容量为35的样本，则编号后确定编号分为________段，分段间隔k＝________，每段有________个个体．

解析：因为N＝1645，n＝35，则编号后确定编号分为35段，且k＝＝＝47，则分段间隔k＝47，每段有47个个体．

答案：35　47　47

12.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别为________、________.

解析：由茎叶图可知这组数据为：

12,14,20,23,25,26,30,31,31,41,42.

∴众数和中位数分别为31、26.

答案：31　26

13．(2010年高考北京卷)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝__________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为__________．

解析：∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a＝＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为＝，∴在[140,150]中选取的学生应为3人．

答案：0.030　3

14．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．

(参考公式：b＝，a＝－b)

解析：由所提供数据可计算出＝10，＝38，又b≈－2，代入公式a＝－b，得a＝58.

即线性回归方程为y＝－2x＋58，将x＝6代入可得．

答案：46

15．某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史记录资料如表：

其散点图如图所示：

从散点图知，煤气消耗量与使用煤气户数________(填线性相关或线性不相关)；若回归方程为y＝6.057x＋0.082，则当煤气用户扩大到5万户时，该市煤气消耗量估计是________万立方米．

解析：由散点图知，变量x，y线性相关，

当x＝5时，y＝6.057×5＋0.082＝30.367(百万立方米)

＝3036.7(万立方米)．

答案：线性相关　3036.7

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)某制罐厂每小时生产易拉罐120000个，每天的生产时间为12小时，为了保证产品的合格率，每隔一段时间就要抽取一个易拉罐送检，工厂规定每天要抽取1200个进行检测，请设计一个合理的抽样方案．若工厂规定每天共抽取980个进行检测呢？

解：每天共生产易拉罐120000个，共抽取1200个，所以分成1200组，每组100个，然后采用简单随机抽样法从001～100中随机选出1个编号，例如选出的是13号，则从第13个易拉罐开始，每隔100个拿出一个送检，或者根据每小时生产10000个，每隔×3600＝36(秒)拿出一个易拉罐．

若共要抽取980个进行检测，则要分980组，由于980不能整除120000，所以应先剔除120000－980×122＝440(个)，再将剩下的119560个平均分成980组，每组122个，然后采用简单随机抽样法从001～122中随机选出1个编号，例如选出的编号是108号，则从第108个易拉罐开始，每隔122个，拿出一个送检．

17．(本小题满分12分)有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取了16台，记录了上午8∶00～11∶00之间各自的销售情况(单位：元)：

甲：18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；

乙：22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.

试用两种不同的方式分别表示上面的数据，并简要说明各自的优点．

解：法一：从题目中的数不易直接看出各自的分布情况，为此，我们将以上数据用条形统计图表示．如图：

法二：茎叶图如图，两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数，两边的数字表示甲、乙销售额的个位数．

从法一可以看出条形统计图能直观地反映数据分布的大致情况，并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目；从法二可以看出，用茎叶图表示有关数据，对数据的记录和表示都带来方便．

18．(本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：

职务　董事长　副董事长　董事　总经理　经理　管理员　职员

人数　　1　　　　1　　　2　　　1　　　5　　　3　　20

工资　5500　 　 5000　　3500　3000　　2500　2000 　1500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．

(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．

解：(1)平均数是＝1500＋

≈1500＋591＝2091(元)．

中位数是1500元，众数是1500元．

(2)新的平均数是′＝1500＋

≈1500＋1788＝3288(元)．

中位数是1500元，众数是1500元．

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

19．(本小题满分13分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

(1)完成频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；

(2)补全频数分布直方图；

(3)若成绩在[75.5,85.5)分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约有多少人？

解：(1)

(2)频数分布直方图如图所示．

(3)成绩在[75.5,80.5)分的学生占[70.5,80.5)分的学生的，因为成绩在[70.5,80.5)分的学生频率为0.2，所以成绩在[75.5,80.5)分的学生频率为0.1.成绩在[80.5,85.5)分的学生占[80.5,90.5)分的学生的.因为成绩在[80.5,90.5)分的学生频率为0.32，所以成绩在[80.5,85.5)分的学生频率为0.16.所以成绩在[75.5,85.5)分的学生频率为0.26.由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人)．

20．(本小题满分13分)现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加测验，参加的每名学生可获得0分、1分、2分、3分、4分、5分、6分、7分、8分、9分这几种不同分值中的一种，A班的测试结果如下表所示：

B班的成绩如图所示．

(1)你认为哪个班级的成绩比较稳定？

(2)若两班共有60人及格，则参加者最少获得多少分才可能及格？

解：(1)A班成绩的平均数为：

A＝×(0×1＋1×3＋2×5＋3×7＋4×6＋5×8＋6×6＋7×4＋8×3＋9×2)≈4.53(分)，

所以A班成绩的方差为：

＝×[(0－A)2＋3×(1－A)2＋5×(2－A)2＋7×(3－A)2＋6×(4－A)2＋8×(5－A)2＋6×(6－A)2＋4×(7－A)2＋3×(8－A)2＋2×(9－A)2]≈4.96(分2)．

B班成绩的平均数为：

B＝×(1×3＋2×3＋3×8＋4×18＋5×10＋6×3)≈3.84(分)，

所以B班成绩的方差为：

＝×[3×(1－B)2＋3×(2－B)2＋8×(3－B)2＋18×(4－B)2＋10×(5－B)2＋3×(6－B)2]≈1.54(分2)．

因为＞，即B班成绩的方差较小，所以B班的成绩较为稳定．

(2)由图表可知，两个班级1分以下(含1分)的学生共有7人，2分以下(含2分)的学生共有15人，3分以下(含3分)的学生共有30人，4分以下(含4分)的学生共有54人，5分以下(含5分)的学生共有72人．

因为两个班级及格的总人数为60人，而4分以下的共有54人，5分以下的共有72人，所以参加者最少获得4分才可能及格．

21．(本小题满分13分)对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：

(1)列出频率分布表；

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计电子元件寿命在100 h～400 h以内的频率；

(4)估计电子元件寿命在400 h以上的频率．

解：(1)样本频率分布表如下：

(2)频率分布直方图如图所示：

(3)电子元件寿命在100 h～400 h以内的频数为130，

则频率为＝0.65.

(4)寿命在400 h以上的电子元件的频数为70，

则频率为＝0.35.