数学同步训练 湘教版必修5：11．4　《算法案例》

1．用辗转相除法求36与134的最大公约数，第一步是(　　)

A．134－36＝98　　　　　　 B．134＝3×36＋26

C．先除以2，得到18与67   D．134÷36＝3(余26)

解析：选B.用辗转相除法求36与134的最大公约数的第一步是计算较大数134除以较小数36的余数．

2．有关辗转相除法下列说法正确的是(　　)

A．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法

B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r<n为止

C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝qn＋r(0≤r＜n)反复进行，直到r＝0为止

D．以上说法皆错

答案：C

3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是(　　)

A．4×4＝16   B．7×4＝28

C．4×4×4＝64   D．7×4＋6＝34

解析：选D.因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.

4．用辗转相除法求得375和85的最大公约数为________．

解析：375＝85×4＋35，

85＝35×2＋15，

35＝15×2＋5，

15＝5×3＋0.

∴375与85的最大公约数为5.

答案：5

一、选择题

1．4830与3289的最大公约数为(　　)

A．23   B．35

C．11   D．13

解析：选A.4830＝1×3289＋1541；

3289＝2×1541＋207；

1541＝7×207＋92；

207＝2×92＋23；92＝4×23；

∴23是4830与3289的最大公约数．

2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值时，需要进行的乘法运算和加减运算的次数分别为(　　)

A．4,2   B．5,3

C．5,2   D．6,2

解析：选C.f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要5次乘法运算和2次加减运算．

3．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是(　　)

A．5,150   B．15,450

C．450,15   D．15,150

解析：选B.利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3，所以45和150的最大公约数为15.所以45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.

4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为(　　)

A．－845   B．220

C．－57   D．34

解析：选C.首先，将多项式按降幂排列得f(x)＝3x6＋5x5＋6x4＋79x3－8x2＋35x＋12，所以v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79，逐层代入可得v3＝－57.

5．按秦九韶算法，多项式f(x)＝4x6＋2x5＋3.5x4＋3x3－2.5x2＋2x－750，当x＝3时的值为(　　)

A．3750   B．3000

C．2570   D．3570

解析：选B.v0＝4，

v1＝4×3＋2＝14，

v2＝14×3＋3.5＝45.5，

v3＝45.5×3＋3＝139.5，

v4＝139.5×3－2.5＝416，

v5＝416×3＋2＝1250，

v6＝1250×3－750＝3000.

6．下面一段程序的目的是(　　)

A．求m，n的最小公倍数   B．求m，n的最大公约数

C．求m被n除的商   D．求n除以m的余数

解析：选B.本程序当m，n不相等时，总是用较大的数减去较小的数，直到相等时跳出循环，显然是“更相减损术”．故选B.

二、填空题

7．459和357的最大公约数是________．

解析：459＝357×1＋102，

357＝102×3＋51，

102＝51×2，

∴最大公约数为51.

答案：51

8．利用秦九韶算法计算函数f(x)＝x＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5的值时，需要做加法、乘法的次数分别是________、________.

解析：由f(x)＝((((5x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x可知共需要做4次加法，5次乘法．

答案：4　5

9．三个数72,120,168的最大公约数是________．

解析：∵120＝72×1＋48，

72＝48×1＋24，

48＝24×2，

∴120与72的最大公约数是24.

又∵168＝24×7，

∴168与24的最大公约数是24.

∴72,120,168的最大公约数是24.

答案：24

三、解答题

10．用辗转相除法求80和36的最大公约数．

解：用辗转相除法：

80＝36×2＋8，

36＝8×4＋4，

8＝4×2＋0.

故80和36的最大公约数是4.

11．利用秦九韶算法分别计算f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1在x＝2与x＝－1时的值，并判断多项式f(x)在区间[－1,2]有没有零点．

解：∵f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1，

且x＝2，

∴v0＝8，

v1＝8×2＋5＝21，

v2＝21×2＋0＝42，

v3＝42×2＋3＝87，

v4＝87×2＋0＝174，

v5＝174×2＋0＝348，

v6＝348×2＋2＝698，

v7＝698×2＋1＝1397.

∴当x＝2时，f(x)＝1397.

同理可求当x＝－1时，f(x)＝－1，

又∵f(－1)f(2)＝－1397<0，则多项式f(x)在区间[－1，2]上有零点．

12．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？

解：用辗转相除法步骤如下：

5．6＝2.4×2＋0.8

2．4＝0.8×3

∴5.6与2.4的最大公约数为0.8，

因此将正方体的棱长设为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．