2013-2014学年高二数学 章末质量评估1活页训练 湘教版选修1-1

章末质量评估(一)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．甲：“a，b，c成等差数列”是乙：“＋＝2”的   (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．必要不充分条件   B．充分不必要条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析　如a＝b＝c＝0，则a，b，c也成等差数列，推不出＋＝2；反过来由＋＝2可推出a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．

答案　A

2．“>”是“|x|<|y|”的         (　　)．

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析　|x|<|y|⇔x2<y2，>⇔－>0⇔>0⇔⇔0<x2<y2.当x2＝0，y2≠0时，x2<y2成立，但无意义，故选A.

答案　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3．命题p：x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴，q：2π是y＝|sin x|的最小正周期，下列复合命题：①p∧q；②p∨q；③綈p；④綈q.其中真命题有                            (　　)．

A．0个   B．1个 

C．2个   D．3个

解析　准确判断简单命题p，q的真假是判断复合命题真假的关键．由正弦函数的图像和性质可知，命题p是真的，q是假的，所以②p∨q、④綈q为真．

答案　C

4．设甲是乙的充要条件，丙是乙的充分但不必要条件，那么 (　　)．

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

解析　可画出结构图(如图)．

答案　A

5．给出下列4个命题：

①设a，b为非零向量，如果a⊥b则a·b＝0；

②如果－2<x<3，则(x＋2)(x－3)<0；

③如果b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根；

④内接于圆的四边形是等腰梯形．

下列说法中正确的是         (　　)．

A．①的逆命题假   B．②的否命题假

C．③的逆否命题真   D．④的逆命题假

解析　①的逆命题为：设a，b为非零向量，如果a·b＝0，则a⊥b，是真命题；判断②的否命题的真假可通过判断它的逆否命题即原命题的逆命题的真假，易知原命题的逆命题为真命题，故否命题为真命题；③的逆否命题的真假可通过判断原命题的真假来取得，由于Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4，故原命题为真，所以③的逆否命题为真；④的逆命题为：等腰梯形内接于圆，真命题．

答案　C

6．下列命题中，正确的个数是         (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①“x＋y≠5”是“x≠3”或“y≠2”的充分不必要条件；

②既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，为f(x)＝0；

③x＝±是a，x，b成等比数列的充要条件；

④直线x＝π是y＝|cos x|的图象的一条对称轴．

A．1   B．2 

C．3   D．4

解析　①中若x＋y≠5则x≠3或y≠2的逆否命题若x＝3且y＝2则x＋y＝5是真命题，故若x＋y≠5则x≠3或y≠2是真命题，但x≠3或y≠2x＋y≠5，故①正确．②由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，而f(x)＝0既关于原点对称，又关于y轴对称，故f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，但我们还可以找到其他既是偶函数又是奇函数的函数(改变定义域)，故②为假命题．③由x＝±推不出a，x，b是等比数列，如a＝0、b＝0时，x＝0，此时a，x，b不是等比数列．故③为假命题．④中由|cos(x＋π)|＝|cos(π－x)|知直线x＝π是y＝|cos x|图象的一条对称轴．

答案　B

7．若命题p：(x－1)(x－3)≠0，q：x≠3，则p是q的    (　　)．

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析　綈p：(x－1)(x－3)＝0，綈q：x＝3.

则綈q⇒綈p，但綈p 綈q.

∴綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．

答案　A

8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，其中m⊂α，n⊂β.命题p：若α∥β，则m∥n的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是                                                                                                                              (　　)．

A．0个   B．1个 

C．2个   D．4个

解析　原命题为假命题；逆命题：若m∥n，则α∥β，为假命题；否命题：若αβ，则mn，为假命题；逆否命题：若mDn，则αDβ，为假命题．

答案　A

9．下列有关命题的说法错误的是        (　　)．

A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0

B．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件

C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0

解析　p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题．

答案　C

10．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分条件是(　　)．

A．x<0   B．x<0或x>4

C．|x－1|>1   D．|x－2|>3

解析　f(x)>0的充要条件是x<0或x>4，记为集合A，当A⇒B，而B⇒/ A时，(即AB)，B是A的必要不充分条件．

答案　C

二．填空题(每小题5分，共25分)

11．若|x－1|<a的充分条件是|x－1|<b(其中a，b>0)，则a，b之间的大小关系是________．

解析　由题意可知|x－1|<b的解集范围不能超过|x－1|<a的解集范围，∴a≥b.

答案　a≥b

12．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是________，命题綈p的真假是________．

答案　对一切实数m，方程x2＋mx＋1＝0都没有实数根　假

13．綈A是命题A的否定，如果B是綈A的必要不充分条件，那么綈B是A的________条件．

解析　B是綈A的必要不充分条件，即B 綈A，而綈A⇒B，由等价命题知綈B⇒A，而A綈B.

答案　充分不必要

14．给出下列四个命题：

①若x，y∈R，则|x＋y|≤|x|＋|y|；②“a<2”是“函数f(x)＝x2－ax＋1无零点”的充分不必要条件；③若向量p＝e1＋e2，其中e1，e2是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；④命题“若lg x>lg y，则x>y”的逆命题．

其中正确的命题是________．

解析　①正确；②取a＝－4，则f(x)＝x2＋4x＋1，其判别式Δ＝16－4＝12>0，∴f(x)有零点，②不正确；③|p|＝|e1＋e2|＝＝.

∵－1≤cos〈e1，e2〉≤1，∴0≤|p|≤2，∴③正确；④的逆命题是“若x>y，则lg x>lg y”．取x＝1，y＝0知④不正确．

答案　①③

15．命题p：函数g(x)＝lg(x2＋2ax＋4)的值域为R；

命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是增函数．

若p或q为假，则实数a的取值范围是________．

解析　p或q为假，则p、q都为假命题．

当Δ＝4a2－16≥0，即a≥2或a≤－2时，p为真．

当0<5－2a<1，即>a>2时，q为真．

则p、q都为假时，－2<a<2.

答案　{a|－2<a<2}

三、解答题(共75分)

16．(13分)分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假．

(1)p：平行四边形对角线相等；

q：平行四边形的对角线互相平分．

(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；

q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．

解　 (1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分．

p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分．

綈p：存在某些平行四边形对角线不相等．

由于p假q真，所以p∨q为真，p∧q为假，綈p为真．

(2)p∨q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．

p∧q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．

綈p：方程x2－16＝0的两根符号相同．

由于p真q真，所以p∨q、p∧q均为真，綈p为假．

17．(13分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)全等三角形一定相似；

(2)末位数字是零的自然数能被5整除．

解　(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；

否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；

逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．

(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的未位数字是零，为假命题；

否命题：若一个自然数的未位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；

逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的未位数字不是零，为真命题．

18．(13分)已知p：a＝0，q：直线l1：x－2ay－1＝0与直线l2：2x－2ay－1＝0平行，求证：p是q的充要条件．

证明　(1)充分性：当a＝0时，l1：x＝1，l2：x＝，

所以l1∥l2，即由“a＝0”能推出“l1∥l2”．

(2)必要性：当l1∥l2时，若a≠0，

则l1：y＝x－，l2：y＝x－，所以＝，无解．

若a＝0，则l1：x＝1，l2：x＝，

显然l1∥l2，即由“l1∥l2”能推出“a＝0”．

综上所述a＝0⇔l1∥l2，即p是q的充要条件．

19．(12分)已知条件p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

解　∵B＝{x∈R|1≤x≤2}，又p是q的充分条件，

∴p⇒q，∴A⊆B.∴A＝∅或AB.

当A＝∅时，方程x2＋ax＋1＝0无实根，

∴Δ<0，即－2<a<2；

当AB时，方程x2＋ax＋1＝0的两实根在区间[1，2]内，记f(x)＝x2＋ax＋1，

∴∴∴a＝－2.

综上，满足条件的a的取值范围为{a|－2≤a<2}．

20．(12分)设条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解　命题p：A＝，命题q：B＝{x|a≤x≤a＋1}．

∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即AB.∴a＋1≥1且a≤，∴0≤a≤.

21．(12分)求不等式组的整数解只有－3的充要条件．

解　由x2－x－6>0，得x>3或x<－2.①

由2x2＋(2k＋7)x＋7k<0，得(2x＋7)(x＋k)<0.

(1)当k>时，(2x＋7)(x＋k)<0⇒－k<x<－.②

由①与②得－k<x<－，显然－3∉.

故这种情况不成立．

(2)当k＝时，(2x＋7)(x＋k)<0⇒(2x＋7)·<0，即(2x＋7)2<0.显然无解，也不成立．

(3)当k<时，(2x＋7)(x＋k)<0⇒－<x<－k.③

由①③和上图得，显然：－3<－k≤4，∴－4≤k<3.

故原命题成立的充要条件为－4≤k<3.