数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精练

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精练，共4页。试卷主要包含了求与圆A等内容，欢迎下载使用。

1．若动点P到F1(－5，0)与P到F2(5，0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是( )．
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
解析 由双曲线定义知：2a＝8，∴a＝4，c＝5，∴b＝3.
答案 D
2．若方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,m2－4)＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围
是( )．
A．1＜m＜2 B．m＞2
C．m＜－2 D．－2＜m＜2
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－4＞0,m－1＜0，))得m＜－2.
答案 C
3．若双曲线2kx2－ky2＝1的一个焦点的坐标是(0，4)，则k的值为( )．

A.eq \f(3,32) B.eq \f(16,3)
C．－eq \f(3,32) D．－eq \f(16,3)
解析 方程变为eq \f(y2,－\f(1,k))－eq \f(x2,－\f(1,2k))＝1，由题意得－eq \f(1,k)－eq \f(1,2k)＝16，k＝－eq \f(3,32).
答案 C
4．平面内动点P到定点F1(－4，0)的距离比它到定点F2(4，0)的距离大6，则动点P的轨迹方程是______________．
解析 由|PF1|－|PF2|＝6<8＝|F1F2|知，P点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支．
答案 eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1(x>0)
5．F1、F2是双曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，则△F1MF2的面积为________．
解析 由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0，5)，
由双曲线定义得，||MF1|－|MF2||＝6，
联立|MF1|·|MF2|＝32，得|MF1|2＋|MF2|2＝100＝|F1F2|2，
所以△ F1MF2是直角三角形，
从而其面积为S＝eq \f(1,2)|MF1|·|MF2|＝16.
答案 16
6．求与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线方程．
解 由题意，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
∵两双曲线有相同焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2.①
又点P(2，1)在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上．
∴eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1.②
由①、②联立，得a2＝b2＝3.
故所求双曲线方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 （限时25分钟）)
7．椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1与双曲线eq \f(y2,15)－x2＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为( )．
A．4 B．5eq \r(5)
C．5 D．3
解析 椭圆焦点为F1(0，－4)，F2(0，4)与双曲线焦点相同，由椭圆及双曲线定义，设P在第一象限，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝10,|PF1|－|PF2|＝2\r(15)，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＝5＋\r(15),|PF2|＝5－\r(15).))
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝8，则cs∠F1PF2＝eq \f(4,5)，
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)(5＋eq \r(15))×(5－eq \r(15))×eq \f(3,5)＝3.
答案 D
8．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值是( )．
A．2 B．1
C.eq \r(2) D．3
解析 ∵双曲线的标准方程为eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1，
∴a>0，焦点在x轴上，∴a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1，a＝－2(舍去)．∴a＝1.
答案 B
9．求与圆A：(x＋5)2＋y2＝49和圆B：(x－5)2＋y2＝1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________．
解析 因圆A与圆B外离，设圆P的半径为r，则|PA|＝7＋r，|PB|＝1＋r，∴|PA|>|PB|，
∴|PA|－|PB|＝6，而|AB|＝10.
∴P轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，c＝5，a＝3，
∴b2＝c2－a2＝16，∴方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)．
答案 eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
10．已知P是双曲线eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．
解析 由双曲线方程eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1知，a＝8，b＝6，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝10.∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝16，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又∵|PF2|≥c－a＝2，
∴|PF2|＝33.
答案 33
11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4\r(10),3)))；
(2)焦点在y轴上，且过点(3，－4eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，5)).
解 (1)若所求的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，将a＝4代入，得eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1.
又点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4\r(10),3)))在双曲线上，∴eq \f(1,16)－eq \f(160,9b2)＝1，
由此得b2<0，不合题意舍去；
若所求的双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，同上解得b2＝9.
∴双曲线方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
(2)设所求双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则因为点(3，－4eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，5))在双曲线上，所以点的坐标满足方程，
由此得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(32,a2)－\f(9,b2)＝1,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1，))令m＝eq \f(1,a2)，n＝eq \f(1,b2)，
则方程组化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(32m－9n＝1,25m－\f(81n,16)＝1，))解此方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,16),n＝\f(1,9)，))
∴a2＝16，b2＝9.
故所求双曲线方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
12．(创新拓展)椭圆eq \f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)与双曲线eq \f(x2,n2)－y2＝1(n>0)有公共焦点F1、F2，P是它们的一个交点，求△F1PF2的面积．
解 根据椭圆与双曲线焦点都在x轴上，不妨设P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2m,|PF1|－|PF2|＝2n，))
可解得|PF1|＝m＋n，|PF2|＝m－n，
即|PF1|2＋|PF2|2＝2(m2＋n2)．
又∵两者有公共焦点，设半焦距为c.
则m2－1＝c2，n2＋1＝c2，∴m2＋n2＝2c2.
∴|F1F2|2＝4c2＝2(m2＋n2)，
∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴∠F1PF2＝90°.
又∵m2－1＝n2＋1＝c2，∴m2－n2＝2.
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|
＝eq \f(1,8)[(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2]
＝eq \f(1,2)(m2－n2)＝1.
所以△F1PF2的面积为1.