2013-2014学年高二数学 章末质量评估2活页训练 湘教版选修1-1

章末质量评估(二)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．抛物线y＝x2的焦点坐标是  (　　)．

A.或   B.

C.或   D.

解析　把方程y＝x2写成x2＝ay，∴抛物线的焦点坐标是，故选B.

答案　B

2．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为  (　　)．

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析　方程可化为－＝1，

该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．

由题意知椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)，

则a＝4，c2＝a2－b2＝12，∴b2＝a2－12＝16－12＝4.

∴所求方程为＋＝1.

答案　D

3．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是  (　　)．

A．x2－y2＝8   B．x2－y2＝4

C．y2－x2＝8   D．y2－x2＝4

解析　焦点为(－4,0)，∴2a2＝16，∴a＝8.

答案　A

4．设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为                            (　　)．

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析　焦点为(2,0)，∴c＝2.又＝，∴a＝4，∴b2＝12.

答案　B

5．抛物线2y＝x2上距离点A(0，a)(a＞0)最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是(　　)．

A．a＞0   B．0≤a＜

C．a≥1   D．0＜a≤1

解析　设抛物线上任一点P(x0，y0)，

则|AP|＝＝＝

＝.

因为y0≥0，若|AP|在y0＝0时取最小值，

则1－a≥0，所以a≤1，故0＜a≤1.

答案　D

6．设F1，F2为双曲线x2－4y2＝4a2(a＞0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足·＝0，||·||＝2，则a的值为              (　　)．

A．2   B.   

C．1   D.

解析　双曲线为－＝1，∵·＝0，

∴||2＋||2＝||2＝4c2＝20a2，

即：(||－||)2＋2||·||＝20a2，

∴16a2＋4＝20a2，∴a2＝1，∵a＞0，∴a＝1.

答案　C

7．等轴双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得的弦长为，则双曲线的实轴长是  (　　)．

A.   B. 

C.   D．3

解析　直线4x＋5y＝0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，

则有 ＝，

可得x＝，取x1＝，y1＝－2，

∴a2＝－4＝，

∴|a|＝，∴2|a|＝3.

答案　D

8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是              (　　)．

A.     B.      C.       D.

解析　本题主要考查圆锥曲线中椭圆的几何性质．左焦点F (－c,0)，右顶点A(a,0)，不妨设点B在第二象限，则B(－c，)，由＝2得：xP－xA＝2(xB－xP)，代入坐标得，0－a＝2(－c－0)，所以e＝＝.

答案　D

9．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于              (　　)．

A．2a   B. 

C．4a   D.

解析　

如图所示，设PQ与x轴成θ角，焦点F到准线的距离为，

∴p＝－psin θ，

∴p＝，

∴＝2a(1＋sin θ)，q＝＋qsin θ，

∴q＝，

∴＝2a(1－sin θ)，

∴＋＝4a.

答案　C

10．已知点A(0，－3)，B(2,3)，点P在x2＝y上，当△PAB的面积最小时，点P的坐标是  (　　)．

A．(1,1)   B. 

C.   D．(2,4)

解析　因△PAB中，AB的长为定值，因此AB边上的高最小时，S△PAB的面积最小，平移直线AB使之与抛物线相切，此时两直线间的距离为P到AB距离的最小值．

由题设条件得AB的方程为y＝3x－3.

即3x－y－3＝0，设相切时直线方程为3x－y＋m＝0，

则消去y得

x2－3x－m＝0，Δ＝9＋4m＝0，

∴m＝－，进而求得x＝，y＝.

答案　B

二、填空题(每小题5分，共25分)

11．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.

答案　5或3

12．过椭圆＋＝1(0＜b＜a)中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是______．

解析　S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2＝c·|y1|＋c·|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标)，

∴S△ABF2＝c|y1－y2|≤c·2b＝bc.

答案　bc

13．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．

解析　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．

联立方程组整理得x2－2px＝0.

又∵直线与抛物线交于A，B两点，

∴xA＋xB＝2p.又＝2，

∴2p＝4，即抛物线C的方程为y2＝4x.

答案　y2＝4x

14．已知抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点F恰好是椭圆＋＝1的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为________．

解析　由题意知：－＝－①

且＝2p②

由①②得：＝＝c，

∴b2＝2ac，又a2＝b2＋c2，

∴a2＝2ac＋c2即e2＋2e－1＝0，

∴e＝－1.

答案　－1

15．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则||为__________．

解析　设A(x，y)(x>0，y>0)，

∴，

解得∴||＝p.

答案　p

三、解答题(共75分)

16．(13分)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程．

解　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－)，F2(0，)．

离心率e＝.

∴双曲线的离心率＝，

又∵c＝，∴a＝3，

∴b2＝c2－a2＝4，

∴双曲线方程为－＝1

17．(13分)如图，已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝4.过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N.

(1)求椭圆的方程；

(2)当∠F2F1M＝时，求|MN|.

解　(1)由题意知：2a＝6,2c＝4，

∴b2＝a2－c2＝9－8＝1，且焦点在x轴上，

∴椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)当∠F2F1M＝时，直线MN的斜率k＝1.

又F1(－2，0)，

∴直线MN的方程为y＝x＋2.

由得：10x2＋36x＋63＝0.

若M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

∴|MN|＝·|x1－x2|

＝·＝.

即|MN|的长为.

18．(13分)已知两点A(，0)、B(－，0)，动点P在y轴上的射影为Q，·＝22.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)设直线m过点A，斜率为k，当0<k<1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为，试求k的值及此时点C的坐标．

解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，则点Q(0，y)，＝(－x,0)，

＝(－x，－y)，

＝(－－x，－y)，

·＝x2－2＋y2，

因为·＝22，

所以x2－2＋y2＝2x2，

即动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.

(2)设直线m：y＝k(x－)(0<k<1)，依题意，点C在与直线m平行且与m之间的距离为的直线上，设此直线为m1：y＝kx＋b，由＝，得b2＋2kb＝2.①

把y＝kx＋b代入y2－x2＝2，

整理，得(k2－1)x2＋2kbx＋(b2－2)＝0.

则Δ＝4k2b2－4(k2－1)(b2－2)＝0，即

b2＋2k2＝2.②

由①②得k＝，b＝，

此时，由方程组⇒C(2，)．

19．(12分)如图所示，若椭圆＋＝1上存在两点A、B关于l：y＝4x＋m对称，求m的取值范围．

解　设直线AB的方程为y＝－x＋n，

由消去y得

25x2－8nx＋16n2－48＝0.

∵AB与椭圆有两公共点A、B，

∴方程有两实根，

∴Δ>0，即n2<.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，

设AB中点M(x0，y0)，则x0＝n，y0＝－x0＋n＝n.

即M，又点M在直线y＝4x＋m上，

∴n＝＋m，∴n＝m，

即2<，

∴－<m<.

20．(12分)椭圆C的一个焦点F恰好是抛物线y2＝－4x的焦点，离心率是双曲线x2－y2＝4离心率的倒数．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，当点G的横坐标为－时，求直线l的方程．

解　(1)由已知，得该椭圆的一个焦点坐标是F(－1,0)，即c＝1，双曲线x2－y2＝4的离心率为，故椭圆的离心率为，即e＝＝，故a＝，从而b＝1，

所以椭圆的标准方程是＋y2＝1.

(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，

整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.

∵直线AB过椭圆的左焦点F，

∴方程有两个不等实根．

记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，

则x1＋x2＝－，

故x0＝＝－，

y0＝k(x0＋1)＝.

所以AB的垂直平分线NG的方程为

y－y0＝－(x－x0)，

令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋

＝－＝－，解得k＝±，

故直线l的方程为y＝±(x＋1)．

21．(12分)如图所示，F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1，)到F1、F2两点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积．

解　(1)根据题意：2a＝4，a＝2，

∴方程为＋＝1.

又点(1，)在椭圆上，

∴＋＝1，b2＝3，

∴椭圆C的方程为＋＝1，

焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．

(2)∵kPQ＝kAB＝，

∴直线PQ方程为y＝(x－1)．①

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

法一　由①得x＝y＋1，

∴3(y＋1)2＋4y2＝12即8y2＋4y－9＝0，

∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，

(y1－y2)2＝＋＝，

∴S△F1PQ＝·|F1F2|·|y1－y2|

＝×2×＝.

法二　直线PQ方程为x－2y－＝0，F1到PQ距离

d＝＝，

将y＝(x－1)代入＋＝1得

2x2－2x－3＝0，x1＋x2＝1，x1x2＝－，

∴|PQ|＝ ＝，

∴S＝·d·|PQ|＝××＝.