湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用复习练习题

2013-2014学年高中数学 3.4生活中的优化问题举例活页训练 湘教版选修1-1

1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量

为  (　　)．

A．13万件   B．11万件

C．9万件   D．7万件

解析　令y′＝－x2＋81＝0，得x1＝－9(舍去)，x2＝9.注意当x∈(－9,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，所以x＝9是函数的极大值点，故选C.

答案　C

2．已知一矩形内接于半径为R的半圆，则矩形周长最大时的边长

为  (　　)．

A.和   B.和

C.和   D.和

解析　如图，设∠COB＝α，其中α∈，则矩形的边长分别为Rsin  α和2Rcos α，则周长l＝2(Rsin α＋2Rcos α)＝2R(sin α＋2cos α)．

由l′＝2R(cos α－2sin α)＝0，得cos α＝2sin α，

解得cos α＝，sin α＝.又函数l＝2R(sin α＋2cos α)为单峰函数，故边长分别为和，故选B.

答案　B

3．制作一个母线长为20 cm的圆锥形漏斗，要使其体积最大，则其高应

为  (　　)．

A.cm   B．100 cm

C．20 cm   D. cm

解析　设高为h cm(0<h<20)，圆锥的底面半径为r，则r2＝400－h2，则V＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，

所以V′＝π(400－3h2)＝0，解得h＝，故选A.

答案　A

4．将正数a分解为两个正数的和，使这两个正数的立方和为最小，则这两个正数分别为________和________．

解析　设所分成的两个整数为x和a－x(0<x<a)，则它们的立方和为y＝x3＋(a－x)3.令y′＝3x2－3(a－x)2＝0得x＝.又函数y＝x3＋(a－x)3为单峰函数，故两个正数的立方和为最小时，这两个正数都等于.

答案　　

5．设气球以每秒36π cm3的常速注入气体，假设气体压力不变，那么在8秒末气球半径的增加速度为________．

解析　设在t时刻气球的半径为r(t)，体积为V，则V＝πr3(t)＝36πt，

所以，把t＝8代入，得r′(t)＝.

答案　 cm/s

6．用总长14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

解　设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，

高为＝(3.2－2x)(m)．

由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6.

设容器的容积为y m3，

则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)．

整理，得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x.

∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.

令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0.

解得x1＝1或x2＝－(不合题意，舍去)．

从而在定义域(0,1.6)内，只有在x＝1处使得y′＝0.

因此，当x＝1时，y取得最大值且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．

7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是                                          (　　)．

A．150   B．200 

C．250   D．300

解析　总利润P(x)＝

由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.

答案　D

8．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的容积最大时底面边长为                            (　　)．

A.   B.

C．1   D.

解析　设切去四边形后正六边形的边长为x，则正六棱柱的高为(1－x)，体积V＝x2(1－x)，V′＝(2x－3x2)＝x(2－3x)，当x＝时，Vmax＝.故选B.

答案　B

9．建造一个总体积一定的圆柱形锅炉，若两个底面的材料每单位面积的造价为a元，侧面的材料每单位面积的造价为b元，当造价最低时，锅炉的直径与高的比值为________．

解析　设锅炉的底面半径为r，高为h，

则体积为V＝πr2h.

总造价P＝2πr2·a＋2πrh·b＝2πar2＋(r>0)．

令P′＝4πar－＝0，得r3＝，

又V＝πr2h，所以r3＝＝，

所以＝.故填.

答案　

10．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．

解析　设剪成的小正三角形的边长为x，则

S(x)＝

＝·(0<x<1)．

所以S′(x)＝·

＝·.

令S′(x)＝0(0<x<1)，得x＝.

当x∈时，S′(x)<0，递减；当x∈时，S′(x)>0，递增，故当x＝时，S的最小值是.

答案　

11．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．

(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.则a＝x，h＝＝(30－x)，0<x<30.

(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

∴当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，

V′(x)＝6x(20－x)．

由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′(x)>0，当x∈(20,30)时，V′(x)<0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时＝.即包装盒的高与底面边长之比为.

12．(创新拓展)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半圆形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．该容器的建造费用为y千元．

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r.

解　(1)设容器的容积为V.

则V＝πr2l＋πr3，又V＝π，

∴l＝＝－r＝.

由于l≥2r，∴0<r≤2.

所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×3＋4πr2c.

即y＝4π(c－2)r2＋，该函数定义域为{r|0＜r≤2}．

(2)由(1)知y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0，当r3－＝0时，r＝  3.

当0 <  3<2，即c>时，时，y′<0，

r∈时，y′>0.

∴r＝3时，y取得极小值，也取得最小值．

当 3≥2，即3<c≤时，r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减．

∴r＝2时，y取得最小值．总之，当3<c ≤时，建造费用最小时r＝2；当c >时，建造费用最小时r＝ 3.