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    2012数学第3章3.3.1知能优化训练(湘教版选修1-1)

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    高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用一课一练

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    这是一份高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用一课一练,共4页。

    1.命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    解析:选A.例如:f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-10 B.f(x)0,所以f(x)在(a,b)上是增函数,所以f(x)>f(a)≥0.
    4.(2011年高考江苏卷改编)函数f(x)=2lg5x+1的单调增区间是________.
    解析:令f′(x)=eq \f(2,xln5)>0,得x∈(0,+∞).
    答案:(0,+∞)
    一、选择题
    1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
    A.(-∞,2) B.(0,3)
    C.(1,4) D.(2,+∞)
    解析:选D.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,
    令f′(x)>0,解得x>2,故选D.
    2.函数y=eq \f(1,2)x2-ln x的单调递减区间为( )
    A.(0,1) B.(0,1)和(-∞,-1)
    C.(0,1)∪(1,+∞) D.(0,+∞)
    解析:选A.y=eq \f(1,2)x2-ln x的定义域为(0,+∞),
    由y′=x-eq \f(1,x)=eq \f(x2-1,x)<0,∴0<x<1.所以选A.
    3.设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数,且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时,有( )
    A.f(x)g(x)>f(b)g(b)
    B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
    C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
    D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
    解析:选C.令F(x)=eq \f(fx,gx),
    则F′(x)=eq \f(f′x·gx-fxg′x,g2x)<0.
    ∵f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数,
    ∴F(x)在R上为递减函数,当x∈(a,b)时,eq \f(fx,gx)>eq \f(fb,gb).
    ∴f(x)g(b)>f(b)g(x).
    4.
    已知函数y=f(x)在定义域[-4,6]内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为( )
    A.[-eq \f(4,3),1]∪[eq \f(11,3),6]
    B.[-3,0]∪[eq \f(7,3),5]
    C.[-4,-eq \f(4,3)]∪[1,eq \f(7,3)]
    D.[-4,-3]∪[0,1]∪[5,6]
    解析:选A.由不等式f′(x)≤0的解集即为原函数f(x)的单调递减区间所对应的x的取值范围,知选A.
    5.设f(x),g(x)在(a,b)上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b时有( )
    A.f(x)>g(x)
    B.f(x)<g(x)
    C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
    D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
    解析:选C.利用函数的单调性判断.
    令φ(x)=f(x)-g(x),则φ′(x)=f′(x)-g′(x),
    ∵f′(x)>g′(x),∴φ′(x)>0,即函数φ(x)为定义域上的增函数.
    又a<x<b,∴φ(a)<φ(x),即f(a)-g(a)<f(x)-g(x),从而得f(x)+g(a)>g(x)+f(a).
    6.函数y=xcsx-sinx在下面哪个区间内是增函数( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π,2π))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,3),\f(5π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π,3π))
    解析:选B.y′=csx-xsinx-csx=-xsinx,若y=f(x)在某区间内是增函数,只需在此间内y′恒大于或等于0即可.
    ∴只有选项B符合题意,当x∈(π,2π)时,y′≥0恒成立.
    二、填空题
    7.函数y=3x-x3在(-1,1)内的单调性是________.
    解析:y′=3-3x2,由y′>0得-1<x<1,
    ∴y=3x-x3在(-1,1)内单调递增.
    答案:增函数
    8.y=x2ex的单调递增区间是________.
    解析:∵y=x2ex,
    ∴y′=2xex+x2ex=exx(2+x)>0⇒x0.
    ∴递增区间为(-∞,-2)和(0,+∞).
    答案:(-∞,-2),(0,+∞)
    9.已知函数f(x)=x3+ax在区间[0,+∞)上是增加的,则a的取值范围是________.
    解析:f′(x)=3x2+a,则当x≥0时,f′(x)≥0恒成立,即3x2+a≥0,∴a≥-3x2.又当x≥0时,-3x2≤0,∴a≥0.即a的取值范围是[0,+∞).
    答案:[0,+∞)
    三、解答题
    10.求下列函数的单调区间.
    (1)f(x)=x3+eq \f(3,x);
    (2)f(x)=sinx(1+csx)(0≤x≤2π).
    解:(1)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
    f′(x)=3x2-eq \f(3,x2)=3(x2-eq \f(1,x2)),
    由f′(x)>0,解得x1,
    由f′(x)

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