高中数学3.5 圆锥曲线的应用综合训练题

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1．动点P到直线x＋4＝0的距离与它到M(2,0)的距离之差等于2，则P的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D.依题意知，动点P到定直线x＝－2的距离与到定点M(2,0)的距离相等，故动点P的轨迹是抛物线．
2．抛物线y＝eq \f(1,4a)x2(a≠0)的焦点坐标为( )
A．当a>0时，(0，a)，当a0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))，当a0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴正半轴上；a0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－eq \f(p,2).
由x2＋y2－6x－7＝0得(x－3)2＋y2＝16.
∵准线与圆相切，∴3＋eq \f(p,2)＝4，∴p＝2.
5．(2010年高考湖南卷)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：
选B.如图所示，抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.
6．若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x0)过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．
解析：y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋eq \f(p,2)＝eq \f(5,2).
答案：eq \f(5,2)
8．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4eq \r(3)，则焦点F到直线AB的距离为________．
解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4eq \r(3)且AB⊥x轴得yeq \\al(2,A)＝(2eq \r(3))2＝12，∴xA＝eq \f(y\\al(2,A),4)＝3，
∴所求距离为3－1＝2.
答案：2
9．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
解析：由抛物线定义知，点P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，则其方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
三、解答题
10．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
解：由抛物线定义知焦点为F(－eq \f(p,2)，0)，准线为x＝eq \f(p,2)，
由题意设M到准线的距离为|MN|，
则|MN|＝|MF|＝10，
即eq \f(p,2)－(－9)＝10，
∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x，
将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6，
∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
11．指出抛物线方程为x＝ay2(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程．
解：∵原抛物线方程为y2＝eq \f(1,a)x，∴2p＝eq \f(1,|a|).
当a＞0时，eq \f(p,2)＝eq \f(1,4a)，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向右，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,4a)；
当a＜0时，eq \f(p,2)＝－eq \f(1,4a)，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向左，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,4a).
综上，当a≠0时，抛物线x＝ay2的顶点坐标为(0,0)，焦点坐标为(eq \f(1,4a)，0)，准线方程为x＝－eq \f(1,4a).
12．根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程及准线方程：
(1)焦点是F(0，－2)；
(2)焦点是F(3,0)；
(3)准线方程为x＝－eq \f(1,4)；
(4)焦点到准线的距离是2.
解：(1)∵焦点F(0，－2)在y轴的负半轴上，
∴抛物线的标准方程的形式为x2＝－2py(p>0)．
由eq \f(p,2)＝2，得p＝4，
∴抛物线的标准方程的形式为：x2＝－8y，
其准线方程为y＝2.
(2)∵焦点F(3,0)在x轴的正半轴上，
∴抛物线的标准方程的形式为y2＝2px(p>0)．
由eq \f(p,2)＝3，得p＝6，
∴抛物线的标准方程为：y2＝12x，
其准线方程为x＝－3.
(3)∵准线方程为x＝－eq \f(1,4)，
∴抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)．
由eq \f(p,2)＝eq \f(1,4)，得p＝eq \f(1,2)，
所以抛物线的标准方程为：y2＝x.
(4)由参数p的几何意义，可知p＝2.
焦点在x轴的正半轴上时，抛物线的标准方程为：
y2＝4x，其准线方程为x＝－1；
焦点在x轴的负半轴上时，抛物线的标准方程为：
y2＝－4x，其准线方程为x＝1；
焦点在y轴的正半轴上时，抛物线的标准方程为：
x2＝4y，其准线方程为y＝－1；
焦点在y轴的负半轴上时，抛物线的标准方程为：
x2＝－4y，其准线方程为y＝1.