高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课后测评

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课后测评，共4页。
[学生用书 P33]1．函数y＝2－x2－x3的极值情况是(　　)A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D．既有极大值又有极小值解析：选D.y′＝－2x－3x2＝0⇒x＝0或x＝－.所以x∈时，y′<0，y为减函数；在x∈时，y′>0，y为增函数；在x∈(0，＋∞)时，y′<0，y为减函数．∴函数既有极大值又有极小值．2．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)A．a≥　　　　　　　　　　　 B．a＝1C．a＝2   D．a≤0解析：选D.因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，即3ax2≤1恒成立．当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.综上可得a≤0.3．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)A．－2   B．0C．2   D．4解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.4．函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，在(－1,5)上f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值＝f(5)＝－98.答案：10　－98一、选择题1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　　)A.   B.C.   D.解析：选A.令f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]，所以f(x)max＝f()＝.2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)A．2   B．3C．4   D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.3．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)A．2   B．2，－1C．－1   D．－3解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示．∴x＝－1时取极小值．4．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为(　　)A．a≥3   B．a>3C．a≤3   D．a<3解析：选A.∵f′(x)＝3x2－a，又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x2<3，∴a≥3，经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)A．－10   B．－71C．－15   D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.6．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为(　　)A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确解析：选B.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1处f(x)有极值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.①又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或a＝－4.∴(舍去)或二、填空题7．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.答案：(0，＋∞)8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.解析：∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.答案：－　－69．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－19三、解答题10．指出函数f(x)＝x3－12x的单调区间和极值点，并求其极值．解：函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值f(－2)＝16 极小值f(2)＝－16 所以f(x)的单调增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调减区间为(－2,2)．x＝－2是函数的极大值点，极大值为f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；x＝2是函数的极小值点，极小值为f(2)＝23－12×2＝－16.11．若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．解：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4，∵x∈[－1,2]，∴x＝0.∵a>0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)   最大值3∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2，∴a＝2，b＝3.12．(2011年高考江西卷)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．解：(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，得a＞－.所以当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.