《导数的应用》同步练习1（苏教版选修2-2）
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一、选择题
1．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
2．函数的极小值点为（ ）
A． B． C． D．不存在
答案：C
3．下列说法中正确的是（ ）
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则只有一个最大值或一个最小值；但若有极值，则可有一个或多个极值
答案：D
4．已知，则（ ）
A．有最大值，无最小值
B．无最大值，有最小值
C．有最大值和最小值
D．无最大值和最小值
答案：B
5．点在曲线上移动时，过点的切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为（ ）
A．cm B．100cm C．20cm D．cm
答案：A
二、填空题
7．若函数的单调递减区间为，则 ， ．
答案：，
8．函数在上的最大值为 ，最小值为 ．
答案：，
9．函数，已知在时取得极值，则等于 ．
答案：5
10．如右图，内接于抛物线的矩形中，其中点在抛物线上运动，点在轴上运动，则此矩形的面积的最大值是 ．
答案：
三、解答题
11．设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的极小值大于0，求的取值范围．
解：（1）当时，，
的单调增区间为，单调减区间为．
当时，．
的单调增区间为，，单调减区间为；
（2）当时，函数不存在极小值，
当时，依题意的极小值，即，
由条件，解得．
的取值范围为．
12．求证：，．
证明：设，
．
令，解得，在附近由负到正．
当时，有极小值，这里也是最小值．
即，
．
13．已知向量，．若函数在区间上是增函数，求的取值范围．
解：依定义，
．
若在上是增函数，则在上可得．
的图象是开口向下的抛物线，
当且仅当，且时，在上满足，
即在上是增函数，解得．
故的取值范围是．
14．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为元，则销售量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：．问该商品零售价定为多少时毛利润最大，并求出最大毛利润（毛利润销售收入进货支出）．
解：由题意知
，
．
令，得或（舍）．
此时．
因为在附近的左侧，右侧，
是极大值．
根据实际意义知，是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元．
高中苏教选修（2-2）1.3~1.4导数的应用水平测试
一、选择题
1．函数在下面哪个区间内是增函数（ ）
A． B． C． D．
答案：B
2．函数有极值的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
3．设，分别为定义在上的奇函数和偶函数．当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
4．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C． D．0
答案：A
二、填空题
5．面积为的一切矩形中，其周长最小的是 ．
答案：以为边长的正方形
6．已知函数的导数为，且图象过点，当函数取得极大值时，的值应为 ．
答案：0
三、解答题
7．已知，函数．
（1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（2）设在上是单调函数，求的取值范围．
解：（1）对函数求导数，得
，
令，得，
从而．
解得，，
其中．
当变化时，，的变化如下表
0 | |||||
极大值 | 极小值 |
则在处取到极大值，在处取到极小值．
由已知，，．
而当时，；
当时，，，
在上为减函数，在上为增函数．
所以当时，取得最小值；
（2）当时，在上为单调函数的充要条件是，
即，
解得．
综上，在上为单调函数的充要条件为，
即的取值范围是．
8．烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有两座烟囱相距20km，其中烟囱喷出的烟尘量是烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最低．
解：不妨设烟囱喷出的烟尘量为1，则烟囱喷出的烟尘量为8，
设，则．
．
依题意得点处的烟尘浓度为（为比例系数）．
．
令，得，
又，．
当时，，
当时，，
在上，当时，取最小值．
故当点位于距点km处时，该点的烟尘浓度最低．
备选题
1．已知函数的图象如图1所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
答案：C
2．已知递缩等比数列和，求无穷数列之和 ．
答案：
3．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图2所示）．试问当帐逢的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设为m，则．
由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
．
于是底面正六边形的面积为（单位：）
．
帐篷的体积为（单位：）
．
求导数，得．
令，解得（不合题决，舍去），．
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
所以当时，最大．
所以当为2m时，帐篷的体积最大．
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