《导数在实际生活中的应用》文字素材1（苏教版选修2-2）练习题

1.5导数在实际生活中的应用

　　在生产和生活实际中，常常需要解决“用料最省”、“投资最少”、“利润最大”、“效率最高”等优化问题，这些大多可以转化为函数的最大（小）值问题．运用导数知识求解最为简捷．下面举例说明．

　　一、产品规格设计

　　例1　一种变压器的铁芯的截面为正十字型，如图1．为保证所需的磁通量，要求十字型具有的面积．问应如何设计正十字型的宽xcm及长ycm，才能使其外接圆的周长最短，这样使绕在铁芯上的漆包线最省？

　　解析：设外接圆的半径为cm，则．

　　由，　得．

　　要使外接圆的周长最小，需要取最小值，也即取最小值．

　　设

 ，

　　则．

　　令，解得或（舍去）．

　　当时，；当时，．

　　因此当时，最小，即最小，周长最小为（cm）．

　　点评：本题通过设间接变量，由题意得到一个函数，再确定它的最小值．间接处理所研究的目标，并用导数研究目标函数的最小值，是解本题的关键所在．

　　二、吊装问题

　　例2　如图2，某工地有一个吊臂长m的吊车，吊车底座高m，现准备把一个底面半径为3m，高2m的圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？

　　（参考数据：，）．

　　解析：吊车能把工件吊上的高度ym取决于吊臂的张角?兹，由图2可知，

，

　　．

　　∴由，得．

　　易知当，时，y有最大值，y的最大值约为（m）．

　　所以吊车能够把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上．

　　点评：本题是通过建立三角函数模型求导数来解决生产中的实际问题的．

　　三、如何施工问题

　　例3　如图3，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以的中点为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）的一部分．新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．

　　解析：以为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则．设抛物线方程为．

　　由点在抛物线上，得，解得．

　　所以抛物线方程为．

　　设是曲线ＭＤ上任一点，

　　则，，

　　所以矩形游乐园面积．

　　∴，令，

　　解得或（舍去）．

　　当，时，，函数为增函数；

　　当时，，函数为减函数．

　　因此，当时，有极大值，此时，，．

　　当时，；当时，．

　　所以当，时，游乐园面积最大，最大面积为．

　　点评：本题将解析几何、函数最大（小）值及导数应用等基本知识进行交汇，需要我们具有一定的建模、解模能力．本题中取y作为自变量也是解题的技巧．