《定积分（3课时）》学案1（苏教版选修2-2）练习题

曲边梯形的面积

学习目标：

理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法；

自主学习：

一、知识再现：导数的概念及应用

二、新课探究：

提出问题

如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？

例题分析：

求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S

（1）．分割

在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：

 ，，…，  记第个区间为

，其长度为

分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：

           ，，…，　　　显然，

（2）以直代曲

记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代曲”，则有

①

（3）作和

由①，上图中阴影部分的面积为

====

从而得到的近似值

（4）逼近

分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有，即所求曲边梯形的面积是。

三、例题评讲：

例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实际意义？

例2：如图，有两个点电荷A、B，电量分别为qA,qB,,固定电荷A，将电荷B从距A为a处移到距A为b 处，求库仑力对电荷B所做的功。

四、课堂小结：

求曲边梯形面积的四个步骤:

第一步：分割．在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，

第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．

第三步：作和．

第四步：逼近。

五、作业：课本  P46  练习　1

1.5。2　定积分的概念。

学习目标：

1。.借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；

2。理解掌握定积分的几何意义.

学习难点重点：

定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义

自主学习：

一、知识再现：曲边梯形的面积的求法。

二、新课探究：

在上一节，我们讨论了曲边梯形面积，变速运动路程、变力做功等问题。这几个问题的实际背景虽然不同，但解决问题的方法是相同的。就是积分的方法。

定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为： ，其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。

按定积分的定义，有   

        (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为

(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为

 (3) 设物体在变力FF(r)的方向上有位移，则F在位移区间[a, b]内所做的功W为

注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关,  与积分变量记号无关
 

练习：1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为______.

2.中,积分上限是___,积分下限是___,积分区间是______

3.定积分 =__________.

4.定积分=__________.

定积分的几何意义 

如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．

三、例题解析：

例1。计算定积分。

例2。计算下列定积分

定积分的性质：1。　　　2。

3。

推广得：

课堂小结：

１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．

２．定积分的思想和方法：分割（化整为零：取近似）、求和（积零为整）、取逼近（得精确值）。

3。定积分的几何意义及简单应用。

练习与作业：

教材P52　　　1（1）（3）,4。

1.5。3微积分基本定理

学习目标：

1.通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

2.通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

3.通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力

学习重点难点：

通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分

自主学习：

一、知识回顾：

定积分的概念及用定义计算

二、新课探究

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），

则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。

    另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即

    =

而。

    对于一般函数，设，是否也有

若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。

定理  如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则

为了方便起见，还常用表示，即

   该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。  它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

三、例题解析：

例1．计算下列定积分：

（1）；  （2）。　　　（3）

例2．计算下列定积分：

1）、           2）、　　　3）　

　4）

课堂巩固：

1.曲线与坐标轴围成的面积是

A.4    B.     C.3       D.2

2.下列积分不正确的是

A、            B、

 C、              D、

3.计算=_________

4. 计算=____________

作业：