高中数学苏教版选修2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试巩固练习

高中新课标数学选修（2-2）3.1~3.2教材解读

一、数系的扩充和复数的概念

　　1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．

　　我们知道，方程在实数范围内无解，于是需引入新数i使方程有解，显然，需要．

　　数系的扩充过程：自然数集整数集有理数集实数集复数集．

　　2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如的数叫做复数，并且把的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数的虚部是，而不是．

　　3．复数相等的充要条件

　　且

　　注意事项：

　　（1）复数

　　（2）复数集

　　（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小.

二、复数的几何意义

　　1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：

　　复数集与坐标系中的点集，可以建立一一对应．

　　2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是１，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数复平面内的点．

　　3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：

　　复数平面向量．

　　在这些意义下，我们就可以把复数说成点或向量，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．

　　4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数的模为．

　　三、复数代数形式的四则运算

　　1．复数的加法、减法

　　①运算法则．

　　其运算法则类似于多项式的合并同类项

    ②复数加法的运算律

　　对于任意的，有：

　　交换律：．

　　结合律：．

　　③复数加法的几何意义

　　设，分别与复数，对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有（如图1）．

　　由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．

　　可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．

　　④复数减法的几何意义

　　设，分别与复数，对应（如图2），

　　根据向量加法的三角形法则有：．

　　于是：．

　　由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．

　　于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．

　　2．复数代数形式的乘法运算

　　①运算法则：．

　　两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把换为，并且把实部与虚部分别合并即可．

　　②运算律：交换律：．

　　结合律：．

　　分配律：．

　　③虚数i的乘方及其规律：，，，，，，，，．

　　可见，，，，，即具有周期性且最小正周期为4．

　　④共轭复数

　　与互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

　　它的几何意义是：共轭的两个复数关于x轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.

　　3．复数代数形式的除法运算

　　运算法则：．

　　其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．