数学必修5第3章 不等式综合与测试同步达标检测题

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分层训练A级 基础达标演练
(时间：30分钟 满分：60分)
1．(2013·佛山质检)求不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集．
解 由题意知，原不等式可化为：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2,x＋1＋2x－4>6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－16))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－1,－x－1－2x＋4>6))，
解得x>3或x<－1，∴x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
2．(2011·福建卷)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
解 (1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．
(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，故ab＋1＞a＋b.
3．(2011·天津卷改编)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋eq \f(1,t)－6，t∈(0，＋∞)}，求集合A∩B.
解 |x＋3|＋|x－4|≤9，
当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3；
当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；
当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即4综上所述，A＝{x|－4≤x≤5}．
又∵x＝4t＋eq \f(1,t)－6，t∈(0，＋∞)，
∴x≥2 eq \r(4t·\f(1,t))－6＝－2，当t＝eq \f(1,2)时取等号．
∴B＝{x|x≥－2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤5}．
4．(2013·郑州二检)不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，求实数k的取值范围．
解 法一 根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.
故当k<－3时，原不等式恒成立．
法二
令y＝|x＋1|－|x－2|，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3，x≤－1,2x－1，－1－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．
故k<－3满足题意．
5．(2011·辽宁)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
(1)证明 f(x)＝|x－2|－|x－5|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3，x≤2，,2x－7，2当2(2)解 由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2{x|5－eq \r(3)≤x<5}；
当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为
{x|5－eq \r(3)≤x≤6}．
6．已知不等式|x＋1|－|x－3|>a.
(1)若不等式有解；
(2)不等式的解集为R；
(3)不等式的解集为∅，分别求出a的取值范围．
解 法一 因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，
即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
由绝对值的几何意义知，PA－PB的最大值为AB＝4，
最小值为－AB＝－4，即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
(1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a<4.
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，
只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a<－4.
(3)若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.
法二 由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4.
|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4.
可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
(1)若不等式有解，则a<4；
(2)若不等式的解集为R，则a<－4；
(3)若不等式解集为∅，则a≥4.
分层训练B级 创新能力提升
1．(2013·皖南八校联考)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 由绝对值的几何意义易知：|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
2．(2011·陕西卷)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，求实数a的取值范围．
解 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋1x≤－1，,3－1∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
3．(2012·苏中三市调研)若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，求实数a的取值范围．
解 要使不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则a2－2a－1<(|x－1|＋|x－3|)min.
又(|x－1|＋|x－3|)min＝2，∴a2－2a－1<2，
即a2－2a－3<0，∴－14．(2012·南京四校调研)已知一次函数f(x)＝ax－2.
(1)当a＝3时，解不等式|f(x)|<4；
(2)解关于x的不等式|f(x)|<4；
(3)若不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝3时，则f(x)＝3x－2，
∴|f(x)|<4⇔|3x－2|<4⇔－4<3x－2<4⇔－2<3x<6⇔－eq \f(2,3)(2)|f(x)|<4⇔|ax－2|<4⇔－4当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,a)当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,a)(3)|f(x)|≤3⇔|ax－2|≤3⇔－3≤ax－2≤3
⇔－1≤ax≤5⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax≤5，,ax≥－1.))
∵x∈[0,1]，∴当x＝0时，不等式组恒成立；
当x≠0时，不等式组转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(5,x),a≥－\f(1,x))).
又∵eq \f(5,x)≥5，eq \f(－1,x)≤－1，∴－1≤a≤5且a≠0.
5．(2012·泰州调研)设函数f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．
解 (1)由于f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋5，x<2，,2x－3，x≥2，))则函数y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，当且仅当a≥eq \f(1,2)或a<－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点，故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
6．(2012·前黄高级中学期中调研)设函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，若不等式|a＋b|－|2a－b|≤|a|·f(x)对任意a、b∈R且a≠0恒成立，求实数x的范围．
解 由f(x)≥eq \f(|a＋b|－|2a－b|,|a|)，对任意的a、b∈R，且a≠0恒成立，而eq \f(|a＋b|－|2a－b|,|a|)≤eq \f(|a＋b＋2a－b|,|a|)＝3，f(x)≥3，
即|x－1|＋|x＋1|≥3，解得x≤－eq \f(3,2)，或x≥eq \f(3,2)，
∴实数x的范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(3,2)或x≥\f(3,2))))).