2020-2021学年第3章 不等式综合与测试复习练习题

这是一份2020-2021学年第3章 不等式综合与测试复习练习题，共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
分层训练A级 基础达标演练
(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．(2012·合肥二模)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于________．
解析 画图可知，不等式组所表示的平面区域是一个三角形，且三个顶点的坐标分别是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(4,3)))×1＝eq \f(4,3).
答案 eq \f(4,3)
2．(2012·广东卷改编)已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤2，,x＋y≥1，,x－y≤1，))则z＝3x＋y的最大值为________．
解析 先画出可行域(如图中的阴影部分)及直线l0：3x＋y＝0，则将直线l0平移到(3,2)处时，z取得最大值，于是得到zmax＝3×3＋2＝11.
答案 11
3．(2011·全国卷改编)若变量x、y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤6，,x－3y≤－2，,x≥1，))则z＝2x＋3y的最小值为________．
解析 作出可行域(如图)，当目标函数过点A(1,1)时取最小值，故zmin＝2×1＋3×1＝5，
答案 5
4．(2011·福建改编)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一个动点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的取值范围是________．
解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))表示的平面区域，如图所示．可以看出当z＝y－x过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的取值范围是[0,2]．
答案 [0,2]
5．(2012·扬州调研)已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≤0，,x－3y＋5≥0，,x＞0，,y＞0，))则z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))y的最小值为________．
解析 可行域如图所示，当直线2x＋y＝t经过点B(1,2)时，tmax＝4，又z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x＋y，
所以zmin＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,16).
答案 eq \f(1,16)
6．(2012·盐城调研)设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤x＋1，,y≥2x－1，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________．
解析 可行域如图所示，当直线abx＋y＝z(a＞0，b＞0)过点B(2,3)时，z取最大值2ab＋3，于是有2ab＋3＝35，ab＝16，所以a＋b≥2eq \r(ab)＝2eq \r(16)＝8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以(a＋b)min＝8.
答案 8
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．2010年中国汽车产销双双超过1 800万辆，再创历史新高，稳居全球产销第一．已知某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A原料3吨，B原料2吨；生产每万件乙种配件要用A原料1吨，B原料3吨，销售每件甲配件可获得利润5元，每件乙配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业在一年内可获得的最大利润．
解 设生产甲种配件x万件，生产乙种配件y万件，则有关系：
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,3x＋y≤13，,2x＋3y≤18，))目标函数z＝5x＋3y.
如图所示，作出可行域，求出可行域边界上各端点的坐标，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，0))，B(0,6)，C(3,4)．由图形可知，目标函数在点C(3,4)处取得最大值，最大值为z＝5×3＋3×4＝27万元．
答：该企业在一年内可获得的最大利润是27万元．
8．已知x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))且M(2,1)，P(x，y)，
求：
(1)eq \f(y＋7,x＋4)的取值范围；
(2)x2＋y2的最大值和最小值；
(3)eq \(OM,\s\up6(→))·Oeq \(P,\s\up6(→))的最大值；
(4)|eq \(OP,\s\up6(→))|cs∠MOP的最小值．
解 画出不等式组表示的平面区域如图所示．其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．
(1)eq \f(y＋7,x＋4)表示区域内点P(x，y)与点D(－4，－7)连线的斜率，
所以kDB≤eq \f(y＋7,x＋4)≤kCD，即eq \f(1,3)≤eq \f(y＋7,x＋4)≤9.
(2)x2＋y2表示区域内点P(x，y)到原点距离的平方，所以(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x2＋y2)min＝0.
(3)设eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝z，则当直线2x＋y＝z经过点A(4,1)时，zmax＝2×4＋1＝9.
(4)设|eq \(OP,\s\up6(→))|cs∠MOP＝eq \f(|\(OM,\s\up6(→))|·|\(OP,\s\up6(→))|cs∠MOP,|\(OM,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(OM,\s\up6(→))·\(OP,\s\up6(→)),\r(5))＝eq \f(2x＋y,\r(5))＝z，则当直线2x＋y＝eq \r(5)z经过点B(－1，－6)时，zmin＝eq \f(1,\r(5))[2×(－1)－6]＝－eq \f(8\r(5),5).
分层训练B级 创新能力提升
1．(2012·郑州一检)若实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y≥0，,x≤0，))则z＝3x＋2y的最小值是________．
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线x＋2y＝0，平移直线x＋2y＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在x轴上的截距最小，此时x＋2y取得最小值，3x＋2y取得最小值，则z＝3x＋2y的最小值是30＋2×0＝1.
答案 1
2．(2013·日照调研)若A为不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
解析 平面区域A如图所示，所求面积为S＝eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4).
答案 eq \f(7,4)
3．(2013·南京模拟)已知集合P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋3≥0，,4x＋3y－6≤0，,y≥0，x≥0))))))，
Q＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤r2，r＞0}．若“点M∈P”是“点M∈Q”的必要条件，则当r最大时，ab的值是________．
解析 集合P所在区间如图阴影部分所示，由题意，Q⊆P，且AB⊥BC，所以当r最大时，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2是四边形OABC的内切圆，从而a＝b＝r，于是由eq \f(|3a－4a＋3|,5)＝a且eq \f(|4a＋3a－6|,5)＝a，解得a＝b＝eq \f(1,2)，所以ab＝eq \f(1,4).
答案 eq \f(1,4)
4．(2012·江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，则eq \f(b,a)的取值范围是________．
解析 由条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3·\f(a,c)＋\f(b,c)≥5，,\f(a,c)＋\f(b,c)≤4，,\f(b,c)≥e\f(a,c)，))令eq \f(a,c)＝x，eq \f(b,c)＝y，则问题转化为约束条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y≥5，,x＋y≤4，,y＝ex))求目标函数z＝eq \f(b,a)＝eq \f(y,x)的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域内．故当直线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(7,2)))时，zmax＝7，故eq \f(b,a)∈[e,7]．
答案 [e,7]
5．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，y≥0，,12x＋8y≥64,6x＋6y≥42，,6x＋10y≥54.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，y≥0，,3x＋2y≥16，,x＋y≥7，,3x＋5y≥27.))让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
6．若a≥0，b≥0，且当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))时，恒有ax＋by≤1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积．
解 作出线性约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))对应的可行域如图(1)所示，在此条件下，要使ax＋by≤1恒成立，只要ax＋by的最大值不超过1即可．
令z＝ax＋by，则y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b).
因为a≥0，b≥0，则－1＜－eq \f(a,b)≤0时，b≤1，或－eq \f(a,b)≤－1时，a≤1.
此时对应的可行域如图(2)，
所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.

A原料
B原料
甲种配件x万件
3x
2x
乙种配件y万件
y
3y