2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练：第二章 平面向量2.3.1 （苏教版必修4） Word版含解析

1．若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是________．

①e1－2e2和e1＋2e2；②e1与3e2；

③2e1＋3e2和－4e1－6e2；④e1＋e2与e1.

解析　2e1＋3e2与－4e1－6e2共线不能做为基底．

答案　③

2．若a，b不共线，且(λ－1)a＋(μ＋1)b＝0(λ，μ∈R)，则λ＝________，μ＝________.

解析　λ－1＝0，μ＋1＝0，∴λ＝1，μ＝－1.

答案　1　－1

3．设e1、e2是平面内两个向量，则有________．(写出正确的所有序号)

①e1、e2一定平行；②e1、e2的模一定相等；③对于平面内的任意向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)；④若e1、e2不共线，则对平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．

答案　④

4．设e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是λ＝________.

解析　由于a∥b，因此只需基底对应系数成比例即可，即＝，∴λ＝－2.

答案　－2

5．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是________．(写出正确的所有序号)

答案　①③

6.

如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、，表示出来．

解　＝－＝－＝－－(－)＝－＝b－a.

同理可得＝a－b，＝－＝－(＋)＝a＋b.

7．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________．

解析　当a∥b时，a，b不能作为一组基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，

∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.

答案　－8

8．如图所示，在△ABC中，P为BC边上的一点，且＝，

(1)用、为基底表示＝________.

(2)用、为基底表示＝________.

答案　(1)＋　(2)＋

9．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p的结果是________(其中a，b不共线)．

解析　设p＝xm＋yn，即3a＋2b＝2xa－3xb＋4ya－2yb

∴3a＋2b＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b

由得：x＝－，y＝.∴p＝－m＋n

答案　p＝－m＋n

10．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

解析　设＝a，＝b则＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b∴＝(＋)即λ＝μ＝∴λ＋μ＝.

答案　

11．如图在▱ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c、d表示和.

解　设＝a，＝b，则由M、N分别为DC、BC的中点

可得：＝b，＝a.

＋＝，即b＋a＝c.①

＋＝，即a＋b＝d.②

由①②可得a＝(2d－c)，b＝(2c－d)，

即＝(2d－c)，＝(2c－d)．

12．若e1，e2是不共线向量，且＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

(1)若A、B、D三点共线，求实数k的值；

(2)问A、B、C三点能否共线？

解　(1)＝－＝e1－4e2

∵A、B、D共线，故存在实数λ使＝λ

得得k＝－8.

(2)设实数t使＝t，则

故存在k＝6时，＝2，

当k＝6时，A、B、C三点共线．

13．(创新拓展)已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？

解　假设存在λ，μ使d与c共线，即d＝kc (k∈R)．

∵d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2

kc＝2ke1－9ke2

∴

由①②知λ＝－2μ.即只要λ＝－2μ，即能使d与c共线．