2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练：第三章 三角恒等变换3.1.3 （苏教版必修4） Word版含解析

1．已知tan α＝4，＝，则tan(α＋β)＝________.

解析　tan β＝3.∴tan(α＋β)＝＝＝－.

答案　－

2．在三角形ABC中，已知tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan C＝________.

解析　由已知得，tan A＋tan B＝－，tan Atan B＝－.所以tan(A＋B)＝＝－2，故tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.

答案　2

3.＝________.

解析　原式＝＝tan 120°＝－.

答案　－

4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°的值是________．

解析　tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°

＝tan(20°＋40°)·(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 20°·tan 40°

＝－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝.

答案　

5．已知tan α＝2，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.

解析　tan β＝tan＝＝＝－13.

答案　－13

6．已知tan＝.

(1)求tan α的值；

(2)求的值．

解　(1)∵tan＝，∴＝.

∴2＋2tan α＝1－tan α，∴tan α＝－.

(2)＝tan α－＝－－＝－.

7．已知tan＝2，则的值为________．

解析　tan＝2，∴＝2，解得tan α＝.＝

＝＝＝.

答案　

8.的值为________．

解析　原式＝－＝＝＝＝.

答案　

9．在△ABC中，若0<tan A·tan B<1，则△ABC一定是________三角形．

解析　tan C＝－tan(A＋B)＝－，

因为0<tan Atan B<1，tan A>0且tan B>0，

∴tan C<0，∴C为钝角，△ABC为钝角三角形．

答案　钝角

10．已知A、B为△ABC的内角，并且(1＋tan A)(1＋tan B)＝2则A＋B＝________.

解析　(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan A·tan B＝2，又∵tan(A＋B)＝

∴1＋tan(A＋B)－tan(A＋B)·tan A·tan B＋tan A·tan B＝2

∴tan(A＋B)＝1又因为A、B都为三角形内角

∴A＋B＝.

答案　

11．设tan α、tan β是方程x2－3x－3＝0的两实根．

求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．

解　由题意知：tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，

∴tan(α＋β)＝＝.

∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)

＝

＝

＝＝－3.

12．已知tan α，tan β是一元二次方程3x2＋5x－2＝0的两个根，且α∈，β∈.

(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．

解　(1)解方程3x2＋5x－2＝0，得x1＝，x2＝－2.

∵α∈，β∈，∴tan α＝，tan β＝－2.

∴tan(α－β)＝＝＝7.

(2)由(1)得tan(α＋β)＝＝＝－1.

∵α∈，β∈，

∴α＋β∈，∴α＋β＝π.

13．(创新拓展)是否存在锐角α和β，使得(1)α＋2β＝；

(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

解　由(1)得＋β＝，

∴tan＝＝.

将(2)代入上式，得tan＋tan β＝3－.

∴tan，tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，解此方程得x1＝1，x2＝2－.

由于0＜＜，所以tan不可能等于1，从而tan＝2－，tan β＝1，∵0＜β＜，∴β＝

将β＝代入(1)得α＝，∴存在锐角α＝，β＝，使(1)(2)同时成立.