2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练：第一章 三角函数1.3.4 （苏教版必修4） Word版含解析

1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．解析　单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，∵ω＝2π，∴T＝＝1(s)．答案　1 s2．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25 sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析　T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．答案　803．右面的图象显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天24小时的变化情况，则水面高度h关于从夜间零时开始的小时数t的函数关系式为__________．答案　h＝6sin 4．一个物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为____________．答案　y＝4sin5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________(其中t∈[0,60])．解析　如图，秒针每秒钟走＝(cm)，∴＝t(cm)，∴2θ＝＝，∴θ＝，∴dAB＝5×sin×2＝10sin.答案　10sin6．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．解　(1)t＝0时，E＝220sin ＝110(伏)；(2)T＝＝0.02(秒)；(3)当100πt＋＝，t＝秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为220伏．7．已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40 sin＋50，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________min.解析　40sin＋50>70，即cost<－，从而<<，4<t<8，即持续时间为4 min.答案　48．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)＝________.解析　由题意知b＝7，则A＝9－7＝2，T＝8，∴ω＝＝，当x＝3时，f(x)取最大值9，∴φ＝－.答案　2sin＋7　(1≤x≤12　x∈N*)9．如图为大型观览车在直角坐标平面内的示意图．O为观览车的轮轴中心，点O距离地面高为32 m，观览车的转轮半径为30 m，其逆时针旋转的角速度为1 rad/s.点P0表示观览车上某座椅的初始位置，∠xOP0＝，此时座椅距地面的高度为________m；当转轮逆时针转动t秒后，点P0到达点P的位置，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为________．解析　所求高度为32＋30sin＝47 (m)；由已知，∠P0OP＝t rad，所以∠xOP＝rad，根据三角函数定义y＝30sin.答案　47　y＝30sin10．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωx＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．(填序号)①y＝12＋3sint，t∈[0,24]；②y＝12＋3sin，t∈[0,24]；③y＝12＋3sint，t∈[0,24]；④y＝12＋3sin，t∈[0,24]．解析　代入t＝0及t＝3验证可知，①最近似．答案　①11．已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)．(1)右图是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解　(1)由题图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，所以ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0，即sin＝0，所以150π·＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝.故所求的解析式为I＝300 sin.(2)依题意，周期T≤，即≤(ω>0)，所以ω≥300π>942，故ω的最小正整数值为943.12．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？解　(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟内所转过的角为＝.由OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.(2)令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，令t－＝，得t＝4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s.13．(创新拓展)某港口的水深y (m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下表是该港口某一天从0：00时至24：00时记录的时间t与水深y的关系：t/h0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长时间的观察，水深y与t的关系可以用y＝Asin(ω t＋φ)＋h拟合．根据当天的数据，完成下面的问题：(1)求出当天的拟合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的表达式；(2)如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5 m．那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间；(忽略离港所需时间)解　(1)根据数据，画出简图，知A＝3，h＝10，T＝12，∴ω＝＝，φ＝0.∴函数的表达式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，∴sint≥，t∈，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]；所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．