2013-2014学年高中数学同步训练：第1章 三角函数 1.1.2 （苏教版必修4） Word版含答案

1.1.2　弧度制

一、填空题

1．－300°化为弧度是________．

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．

3．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．

4．若2π<α<4π，且角α的终边与－角的终边垂直，则α＝______.

5．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝________.

6．已知α为第二象限的角，则π－所在的象限是第________象限．

7．扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________．

8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.

二、解答题

9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．

10．用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

11.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.

三、探究与拓展

12．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

答案

1．－π　2.　3.25　4.或

5．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}

6．二或四

7．2∶3

8．－，－，，

9．解　(1).

(2).

10．解　设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，

从而S＝·l·r＝(30－2r)·r

＝－r2＋15r＝－2＋.

∴当半径r＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，

扇形面积的最大值是 cm2，

这时α＝＝2 rad.

∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.

11．解　因为0<θ<π，且2kπ＋π<2θ<2kπ＋(k∈Z)，

则必有k＝0，于是<θ<，

又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝，

从而<<，即<n<，

所以n＝4或5，故θ＝或.

12．解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，

∵α＝60°＝，R＝10，

∴l＝αR＝ (cm)．

S弓＝S扇－S△＝××10－×2×10×sin ×10×cos

＝50 (cm2)．

(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，

∴α＝，

∴S扇＝αR2＝··R2

＝(c－2R)R

＝－R2＋cR＝－2＋.

当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.