2013-2014学年高中数学同步训练：第2章 平面向量 2.4（三） （苏教版必修4） Word版含答案

2.4　向量的数量积(三)一、填空题1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.2．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.5．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．6．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.7．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.8．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．二、解答题9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．10．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．11．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．三、探究与拓展12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．               答案1．12　2.－　3.2  4.  5.6．(－4,8)　7.5　8.9．解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.10．解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝.故所求k的值为－或或.11．解　∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又∵|c|＝1，|d|＝，∴cos 45°＝＝＝.化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝.12．(1)证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)，又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.(2)解　⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，∴　得∴C点坐标为(0,5)．由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，所以·＝8＋8＝16>0，||＝2 ，||＝2 .设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.