2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练：第二章 平面向量2.4.1.1 （苏教版必修4） Word版含解析

1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为________．解析　|a|·cos θ＝＝.答案　2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析　∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12，∴|a＋2b|＝2.答案　23．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，a与c的夹角为90°，b与c的夹角为60°，则(a＋b)·c＝________.解析　(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝|b||c|cos 60°＝2×4×＝4.答案　44．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.解析　(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±.答案　±5．已知|a|＝2，|b|＝3，若a∥b，则a·b＝________；若a⊥b，则a·b＝________.解析　当a∥b时，则a与b的夹角为0°或180°；若θ＝0°，则a·b＝|a||b|＝6；若θ＝180°，则a·b＝－|a||b|＝－6.当a⊥b时，a·b＝0.答案　±6　06.如图，已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)·；(2)·；(3)·.解　(1)与的夹角为60°.∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.(2)与的夹角为120°.∴·＝||||cos 120°＝1×1×－＝－.(3)与的夹角为60°.∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.7．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.解析　∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝＝＝＝.答案　8．下列等式中，其中正确的是________．①|a|2＝a2；②＝；③(a·b)2＝a2·b2；④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.解析　①|a|2＝a2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；②＝＝cos θ≠；③(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≠a2·b2；④(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋2a·b＋b2.答案　①④9．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．解析　因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0∴a·b＝－|b|2，设a与b的夹角为θ∴cos θ＝＝＝－，∴θ＝120°.答案　120°10．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为________．解析　∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|＝6，|a|＝－4(舍去)．答案　611．已知向量a与b的夹角θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)a·b；(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)|3a－4b|.解　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝8×＝－4.(2)(a－2b)·(a＋b)＝a·(a＋b)－2b·(a＋b)＝|a|2＋a·b－2a·b－2|b|2＝|a|2－a·b－2|b|2＝16－(－4)－2×4＝12.(3)因为(3a－4b)2＝9|a|2－24a·b＋16|b|2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，所以|3a－4b|＝＝＝4.12．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.|a|＝|2m＋n|＝＝ ＝ ＝，|b|＝|2n－3m|＝＝ ＝ ＝，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.13．(创新拓展)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，判断△ABC的形状．解　在△ABC中，易知＋＋＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，从而，两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2.因为a·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.同理可得|a|＝|b| ，故||＝||＝||，即△ABC是等边三角形．