2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练：第二章 平面向量2.5 （苏教版必修4） Word版含解析
展开1．在四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是________．
解析 由·＝0⇒⊥，又＝，∴AB綉DC.
答案 矩形
2．作用于一个物体的两个力F1、F2的大小都是10，F1与F2的夹角为60°，则F1＋F2的大小为________．
解析 |F1＋F2|＝2×10×＝10.
答案 10
3．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________．
解析 功W＝60×50×cos 30°＝1 500(J)．
答案 1 500 J
4．△ABC中，||＝3，||＝4，||＝5，则·＝______.
解析 由已知△ABC是直角三角形，∠A＝90°.
∴⊥.∴·＝0.
答案 0
5.
如图，非零向量＝a，＝b且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ＝________.
解析 ＝λa－b，a·(λa－b)＝0，则
λ＝.
答案
6．求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．
证明
如图所示，▱ABCD中：
＝，＝，＝＋
∴||2＝|＋|2
＝||2＋||2＋2·
而＝－
∴||2＝|－|2＝||2＋||2－2·
∴||2＋||2＝2||2＋2||2
＝||2＋||2＋||2＋||2.
即AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
7.
用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________．
解析 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.
答案 10 N
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________．
解析 由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．
答案 垂心
9．一条河宽为400 m，一船从A出发航行，垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.
解析 船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图．
|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h.
根据勾股定理|v|＝16 km/h＝ m/min.
∴所需时间为＝1.5(min)．
答案 1.5
10．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是________．
解析 在直线l1上任取两点得向量v1＝(4，－3)，l2上任取两点得向量v2＝(1，－7)，则v1与v2的夹角为θ.
则|cos θ|＝＝＝.
∴两直线夹角为45°.
答案 45°
11.
如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BE∶EC.
解 法一 (基向量法)
设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2.
a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b.
设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a.
由AE⊥BD，得·＝0.即(λb－a)·(a＋b)＝0.
解得λ＝，∴BE∶EC＝∶＝2∶3.
法二 以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，
根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A，D.
又设E(m,0)，则＝，＝.
由AE⊥BD，得·＝0.
即－×＝0，
得m＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3.
12．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)．求∠A的角平分线的方程．
解 ＝(3,4)，＝(－8,6)，∠A的角平分线的一个方向向量为：
＋＝＋＝.
∵∠A的角平分线过点A.
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得7x＋y－29＝0.
13．(创新拓展)两个人用同样的力量共提一个重力为G的旅行包，两人所用力F1，F2的夹角为θ.
(1)试讨论θ的大小与|F1|的关系；
(2)θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
(3)|F1|能等于|G|吗？为什么？
解
如图所示．由平行四边形法则及直角三角形的知识得
|F1|＝.
(1)通过上面的式子，可以发现，当θ由0°到180°逐渐变大时，由0°到90°逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力．
(2)要使|F1|最小，则cos最大，
又0°≤θ≤180°，0°≤≤90°，
∴当θ＝0°时cos最大，|F1|最小为，
此时两个人的手臂应靠在一起．
(3)要使|F1|＝|G|，则2cos＝1，
则cos＝，＝60°，θ＝120°，
∴两臂的夹角为120°时，|F1|＝|G|.
