2013高中新课程数学（苏教版必修四） 第二课时 角的概念的推广（二）教案练习题

第二课时  角的概念的推广(二)

教学目标：

熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法.

教学重点：

轴线角的集合，终边相同的角的表示方法

教学难点：

终边相同的角的表示方法

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

请思考并回答以下问题：

1.正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的？

2.角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？

3.能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？

4.如图所示的∠ABC是第一象限角吗？为什么？

指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的

大小.②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈

数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件.

Ⅱ.例题分析

［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)

第一步：在0°到360°内找到满足上述条件的角，即90°、270°.

第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即

S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}

S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}

第三步：写出几个集合的并集，即

S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}

＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)· 180°，k∈Z}

＝{β|β＝90°＋180°的偶数倍}∪{β|β＝90°＋180°的奇数倍}

＝{β|β＝90°＋180°的整数倍}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}

能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？

终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°，k∈Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}.

以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？

［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β≤

720°的元素β写出来：

(1)60°  （2）－21°  （3）363°14′

第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：

（1）S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}

(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}

(3)S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}

第二步：在第一步的基础上，利用满足约束条件的不等式，对其中的k值，分别采用赋值法求解出元素β:

(1)－300°，60°，420°

(2)－21°，339°，699°

(3)－356°46′，3°14′，363°14′

题目中的k值是靠观测、试探确定的，即赋给k一个任意值m试一试，看是否满足条件，再将m增1或减1再试，直至找到合适的k的最小值（或最大值）.

［例3］若α是第三象限角，试求、的范围.

分析：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定、的范围，再进一步判断、所在的象限.

解：∵α是第三象限角

∴k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)

(1)k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z)

当k＝2n(n∈Z)时，n·360°+90°＜＜n·360°+135°

当k＝2n+1(n∈Z)时，n·360°+270°＜＜n·360°+315°

∴为第二或第四象限角.

(2)k·120°+60°＜＜k·120°+90°(k∈Z)

当k＝3n(n∈Z)时，n·360°+60°＜＜n·360°+90°(n∈Z)

当k＝3n+1(n∈Z)时，n·360°+180°＜＜n·360°+210°（n∈Z)

当k＝3n+2(n∈Z)时，n·360°+300°＜＜n·360°+330°(n∈Z)

∴为第一或第三或第四象限角.

Ⅲ.课堂练习

P7练习5 

Ⅳ.课时小结

本节课的重点内容仍然是终边相同的角的集合表示，这是学习后续知识的基础，要予以足够的重视，若还有不明白的地方，请同学们再做进一步的讨论，或者提出来，老师再与你一块研究.

Ⅴ.课后作业

（一）P10习题  4、11、12.

（二）1.预习内容

课本P7~P8弧度制

2.预习提纲

弄清楚下列问题：

(1)弧度的单位符号

(2)1弧度的角的定义

(3)弧度制的定义

(4)角度与弧度的换算公式

角的概念的推广(二)

1．若α是第四象限角，则180°－α是                                       （    ）

A.第一象限角                              B.第二象限角

C.第三象限角                              D.第四象限角

2．设k∈Z，下列终边相同的角是                                            （    ）

A.（2k+1)·180°与（4k±1)·180°               B.k·90°与k·180°+90°

C.k·180°+30°与k·360°±30°                D.k·180°+60°与k·60°

3．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边                            （    ）

A.关于x轴对称                                 B.关于y轴对称

C.关于原点对称                                 D.以上都不对

4．终边与坐标轴重合的角α的集合是                                         （    ）

A.{α|α＝k·360°，k∈Z}      B.{α|α＝k·180°+90°，k∈Z}

C.{α|α＝k·180°，k∈Z}      D.{α|α＝k·90°，k∈Z}   

5．若角α与β终边重合，则有                                               （    ）

A.α－β＝180°        B.α+β＝0

C.α－β＝k·360°（k∈Z）         D.α+β＝k·360°（k∈Z）  

6．若将时钟拨慢5分钟，则时针转了         度，分针转了         度.  

7．若角α是第三象限角，则角的终边在             ，2α角的终边在               .

8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.

9．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.

10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.

角的概念的推广(二)答案

1．C  2．A  3．B  4．D  5．C  6．2.5  30

7．第二或第四象限  第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上

8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.

分析：由6α与30°角的终边相同，得出α的表达式是解题的关键.

解：由题意得

6α＝30°＋k·360°(k∈Z)

∴α＝5°＋k·60°

∵－180°＜α＜180°

∴－180°＜5°＋k·60°＜180°，－185°＜k·60°＜175°

∴－＜k＜

∵k是整数， ∴k＝－3，－2，－1，0，1，2.

分别代入α＝5°＋k·60°，得满足条件的α的集合为：

{－175°，－115°，－55°，5°，65°，125°}

9．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.

分析：关键是求出0°到360°范围内的角α.

解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α＝60°.

∴A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}

其中最大的负角为－300°（当k＝－1时）

绝对值最小的角为60°（当k＝0时）

10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.

由7θ＝θ＋k·360°，得θ＝k·60°（k∈Z）

∴θ＝60°，120°，180°，240°，300°

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