苏教版必修41.1任意角、弧度精练

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1．下列常见角0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，将它们用弧度制分别表示为________．
答案：0， eq \f(π,6)，eq \f(π,4)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)，eq \f(3π,4)，eq \f(5π,6)，π
2．α＝－2 rad，则α的终边在________．
解析：－2 rad＝－2×(eq \f(180,π))°≈－57.30°×2＝－114.60°，
∴α为第三象限角．
答案：第三象限
3．已知圆内1 rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为________．
解析：首先求出圆的半径r＝eq \f(1,sin\f(1,2))，再利用弧长公式求弧长．
答案：eq \f(1,sin\f(1,2))
4．设集合M＝{α|α＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
解析：分别取k＝－1,0,1,2，得α＝－eq \f(5π,6)，－eq \f(π,3)，eq \f(π,6)，eq \f(2π,3).
答案：{－eq \f(5π,6)，－eq \f(π,3)，eq \f(π,6)，eq \f(2π,3)}
一、填空题
1．下列结论不正确的是________．(只填序号)
①eq \f(π,3)rad＝60°；②10°＝eq \f(π,18)rad；③36°＝eq \f(π,5)rad；④eq \f(5π,8)rad＝115°.
解析：eq \f(5π,8) rad＝eq \f(5π,8)×(eq \f(180,π))°＝112.5°，所以④错．
答案：④
2．集合A＝{x|x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}与集合B＝{x|x＝2kπ±eq \f(π,2)，k∈Z}之间的关系是________．
解析：因为角的集合{x|x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}与{x|x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z}分别表示终边落在y轴的正、负半轴上的角的集合，所以B表示终边落在y轴上的角的集合，所以A＝B.
答案：A＝B
3．已知A，B是半径为2的圆O上两点，∠AOB＝2弧度，则劣弧eq \x\t(AB)的长度是________．
解析：根据弧长公式l＝|α|·r知劣弧eq \x\t(AB)的长度为2×2＝4.
答案：4
4．若长为30 cm的弧所对圆心角为72°，则这条弧所在的圆的半径为________．(精确到1 cm)
解析：∵72°＝72×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,5)，∴这条弧所在的圆的半径为30÷eq \f(2π,5)＝eq \f(75,π)≈24 (cm)．
答案：24 cm
5．若角α的终边与角eq \f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
解析：∵角α的终边与角eq \f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，∴α＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴角α的集合为{α|α＝2kπ＋eq \f(π,3)， k∈Z}．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋eq \f(π,3)＜4π，k∈Z，∴－eq \f(13,6)＜k＜eq \f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，∴α＝－eq \f(11π,3)，－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)，eq \f(7π,3).
答案：－eq \f(11π,3)，－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)，eq \f(7π,3)
6．在(－4π，4π)内与－eq \f(58π,7)角的终边相同的角是________．
解析：首先写出与－eq \f(58,7)π角的终边相同的角的集合{α|α＝2kπ－eq \f(58,7)π，k∈Z}．然后再写出(－4π，4π)内的角α.
答案：－eq \f(16π,7)，－eq \f(2π,7)，eq \f(12π,7)，eq \f(26π,7)
7．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．
解析：设圆的半径为r，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为eq \r(2)r，则eq \r(2)r＝r·α，即α＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
8．已知一扇形的圆心角为eq \f(π,3) rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．
解析：先求出圆的半径r与扇形半径R的比为1∶3，再求它们的面积的比．
答案：2∶3
二、解答题
9．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)eq \x\t(AB)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)∵120°＝eq \f(120,180)π＝eq \f(2,3)π，
∴l＝|α|·r＝6×eq \f(2,3)π＝4π，
∴eq \x\t(AB)的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝eq \f(1,2)×AB×OD
＝eq \f(1,2)×2×6cs30°×3＝9eq \r(3).
∴弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq \r(3).
∴弓形的面积是12π－9eq \r(3).
10．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？
解：设弧长为l，所对圆心角为α，
则l＋2r＝πr，即l＝(π－2)r.
∵|α|＝eq \f(l,r)＝π－2，|α|＝(π－2)·(eq \f(180,π))°≈65.41°.
∴α的弧度数是π－2，度数为65.41°.
从而S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(π－2)r2.
11．设集合A＝{x|kπ－eq \f(π,4)≤x≤kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z}，B＝{x|x2≤36}，试求集合A∩B.
解：由集合A＝{x|kπ－eq \f(π,4)≤x≤kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z}，可知A＝…∪[－eq \f(9π,4)，－eq \f(7π,4)]∪[－eq \f(5π,4)，－eq \f(3π,4)]∪[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]∪[eq \f(3π,4)，eq \f(5π,4)]∪[eq \f(7π,4)，eq \f(9π,4)]∪….由B＝{x|x2≤36}，可得B＝{x|－6≤x≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．
可得集合A∩B＝[－6，－eq \f(7π,4)]∪[－eq \f(5π,4)，－eq \f(3π,4)]∪[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]∪[eq \f(3π,4)，eq \f(5π,4)]∪[eq \f(7π,4)，6]．