2013高中新课程数学（苏教版必修四） 第九课时 诱导公式（一）教案练习题

第九课时  诱导公式（一）

教学目标：

理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.

教学重点：

理解并掌握诱导公式.

教学难点：

诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.

教学过程：

学习三角函数定义时，我们强调P是任意角α终边上非顶点的任意一点，至于α是多大的角，多小的角并不知道，那么由三角函数的定义可知：终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到公式一：

sin（k·360°＋α）＝sinα

cos（k·360°＋α）＝cosα

tan（k·360°＋α）＝tanα，(k∈Z）

公式的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.下面我们来看几个例子.

［例1］求下列三角函数的值.

(1)sin1480°10′        （2）cos         （3）tan（－）

解：(1）sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）＝sin40°10′＝0．6451

(2)cos＝cos（＋2π）＝cos＝

(3)tan（－）＝tan（－2π）＝tan＝.

［例2］化简     

利用同角三角函数关系公式脱掉根号是解决此题的关键，即

原式＝

＝＝＝cos80°

利用这组公式可以将求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.

初中我们学习了锐角三角函数，任意一个锐角的三角函数值我们都能求得，但90°到3600角的三角函数值，我们还是不会求，要想求出其值，我们还得继续去寻求办法：看能不能把它转化成锐角三角函数，我们来研究这个问题.

下面我们再来研究任意角α与－α的三角函数之间的关系，任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′，因为这两个角的终边关于x轴对称，所以点P′的坐标是（x，－y），由正弦函数、余弦函数的定义可得.

sinα＝y                 cosα＝x

sin（－α）＝－y         cos（－α）＝x

所以sin（－α）＝－sinα   cos（－α）＝cosα 

则tan（－α）＝＝－tanα

于是得到一组公式(公式二)：

sin（－α）＝－sinα   cos（－α）＝cosα        tan（－α）＝－tanα

下面由学生推导公式三：

sin（180°－α）＝sinα

cos（180°－α）＝－cosα         

tan（180°－α）＝－tanα

已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），由于角180°＋α的终边就是角α的反向延长线，所以角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称，由此可知，点P′的坐标是（－x，－y)，由正弦函数、余弦函数的定义可得：

sinα＝y，cosα＝x，sin（180°＋α）＝－y，cos（180°＋α）＝－x

∴sin（180°＋α）＝－sinα

cos（180°＋α）＝－cosα           tan（180°＋α）＝tanα

于是我们得到一组公式(公式四)：

sin（180°＋α）＝－sinα

cos（180°＋α）＝－cosα          

tan（180°＋α）＝tanα

分析这几组公式，它有如下的特点：

1.－α、180°－α、180°＋α的三角函数都化成了α的同名三角函数.

2.前面的“＋”“－”号是把看作锐角时原函数的符号.即把α看作锐角时，180°＋α是第三象限角，第三象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第三象限角的余弦是负值，等号右边放“－”号；把α看作锐角时，－α是第四象限角，第四象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第四象限角的余弦是正值，等号右边放“＋”号.

这也就是说，－α、180°－α、180°＋α的三角函数都等于α的同名三角函数且前面放上把α看作锐角时原函数的符号，可以简记为：

函数名不变，正负看象限

下面我们来看几个例子.

［例3］求下列三角函数值

(1)cos225°  （2）sinπ

解：(1)cos225°＝cos（180°＋45°）＝－cos45°＝－；

(2)sinπ＝sin（π＋）＝－sin＝－sin18°＝－0．3090.(sin18°的值系查表所得)

［例4］求下列三角函数值

(1)sin（－）  （2）cos（－240°12′）

解：(1)sin（－）＝－sin＝－；

(2)cos（－240°12′）＝cos240°12′＝cos（180°＋60°12′）

＝－cos60°12′＝－0．4970

［例5］化简

解：原式＝＝＝1

课堂练习：

课本P21练习1、2、3.

课时小结：

本节课我们学习了公式一～四，这几组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结出了“函数名不变，正负看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多练习，以便掌握得更好，运用得更自如.

课后作业：

课本P24练习13、16、17.

诱导公式（一）

1．sin(－π)的值等于                                                    （    ）

A.              B.－                C.       D.－

2．若cos165°＝a，则tan195°等于                                          （    ）

A. －     B. －          C.    D.  

3．已知cos(π＋θ)＝－，则tan(θ－9π)的值                               （    ）

A.±            B.                 C.±          D.－

4．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，则tanα的值是              （    ）

A.          B.－               C.±          D. －

5．下列不等式中，不成立的是                                               （    ）

A.sin130°＞sin140°     B.cos130°＞cos140°

C.tan130°＞tan140°     D.cot130°＞cot140°

6．求：的值.           

7．求下列各三角函数值.

（1）sin（－π）                   （2）sin（－1200°）

（3）tan(－π)                      (4)tan(－855°)

（5）cosπ                         (6)cos(－945°)

8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.

诱导公式（一）答案

1．C  2．D  3．C  4．B  5．C   6．－

7．求下列各三角函数值.

（1）sin（－π）                   （2）sin（－1200°）

（3）tan(－π)                      (4)tan(－855°)

（5）cosπ                         (6)cos(－945°)

分析：求三角函数值的步骤为：①利用诱导公式三将负角的三角函数变为正角的三角函数.②利用诱导公式一化为0°到360°间的角的三角函数.  ③进一步转化成锐角三角函数.

解:（1）sin（－π）＝－sinπ

＝－sin(4π＋π)＝－sinπ＝－sin（π＋）＝sin＝

(2)sin(－1200°)＝－sin1200°

＝－sin(3·360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－

(3)tan(－π)＝－tanπ

＝－tan(22π＋π－)＝－tan(π－)＝tan＝

(4)tan(－855°)＝－tan855°

＝－tan(2·360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1

(5)cosπ＝cos(4π＋)

＝cos＝cos(π－)＝－.

(6)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2·360°+225°)

＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.

8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.

分析：依据已知条件求出cosθ，进而求得tan(10π－θ)的值.

解：由已知条件得

cos(θ－π)＝－，cos(π－θ)＝－，

∴cosθ＝                   ∵π＜θ＜2π，

∴＜θ＜2π             ∴ tanθ＝－

∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tanθ＝

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