高中2.2.1 圆的方程教案

这是一份高中2.2.1 圆的方程教案，共3页。教案主要包含了学习导航，课堂互动，精典范例等内容，欢迎下载使用。
第二节 圆的方程（2）【学习导航】 知识网络 学习要求 1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质． 【课堂互动】自学评价1．以为圆心，为半径的圆的标准方程：　．2.将展开得：　．3.形如的都表示圆吗？不是　．（１）当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程表示一个点；（3）当时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；４．圆的一般方程：．注意：对于圆的一般方程（１）和的系数相等，且都不为（通常都化为）；（２）没有这样的二次项；（３）表示圆的前提条件：，通常情况下先配方配成，通过观察与的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件．【精典范例】例１：求过三点的圆的方程．分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．【解】：法一：设圆的方程为，∵三点都在圆上，∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：，解得：，所以，所求圆的方程为：．法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．点评:通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解．例2：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？分析：线段的端点静止，在圆上运动，因此我们可以设出的坐标，从而得到中点的坐标．【解】设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（＊）于是，有因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即：（＊＊），将（＊）式代入（＊＊），得：，整理得所以满足的关系为：，其表示的曲线是以为圆心，１为半径的圆．点评: 该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．本题的方法为求轨迹方程的一种基本方法，注意方法的归纳总结．例3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度是米，拱高是米，在建造时，每隔米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到米）．分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．【解】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐标系，那么点的坐标分别为；设圆拱所在的圆的方程为，∵点在所求的圆上，则坐标代入得：，解之得，∴圆拱所在的圆的方程为：；将点的横坐标代入圆方程，解得（舍去负值）．答：支柱的长约为米．点评:本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何问题．追踪训练一1.下列方程各表示什么图形？ （１）； （２）； （３）．【解】（１）圆心为，半径为２的圆；（２）一个点；（３）一个圆心为，半径为的一个半圆（）（图略）．２．圆的圆心为：，半径为．３. 求过三点的圆的方程．【解】设圆的方程为，∵，，三点都在圆上，∴，，三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：，解得：，所以，所求圆的方程为：．４.求圆关于直线对称的图形的方程．【解】可化为，圆心关于直线的对称点为，所以对称的图形的方程为：．思维点拔：在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想．  学生质疑 教师释疑