苏教版必修11.3 交集、并集教案设计

例题讲解

例1集合A={x｜x=, m∈Z, ｜m｜<3, n∈N, n≤3},试用列举法将A表示出来.

解：∵，

∴

例2设全集，又集合求

（1）；      （2）；

（3）()()；    （4）()()；

（5）；     （6）()

答案：（1）

（2）

（3）()()=

（4）()()=

（5）=

（6）()=

例3设集合，同时满足下列条件：

（Ⅰ）（Ⅱ），

求α、β的值．

解：由（Ⅰ）得

；由（Ⅱ）得

∴

小结：①要注意；区分符号的区别.

②集合的运算常借助数轴，数形结合来研究集合间的相互关系与运算.

例4．某中学高一年级开设了两门选修课：电子制作和艺术欣赏，要求每个同学至少选一门．已知选电子制作的有218人，选艺术欣赏的有156人，还有27人同时选了这两门课．问：这个年级一共有学生多少人？

分析：利用文氏图，可以直观地看到，全年级的学生可分为三类，一类是只选电子制作的；第二类是只选艺术欣赏的；第三类是两门课都选的．这三类不重不漏，将各类人数相加即得年组总数．

∴ (218－27)+27+(156－27)

=218+156－27=347(人)

例5．某班共有学生50人，其中有28人参加了计算机小组，有23人参加了生物小组，还有5人这两个小组都没有参加．

问：(1) 两个小组都参加的学生有几人？

(2) 只参加了一个小组的学生有几人？

(3) 至少参加了一个小组的学生有几人？

分析：设全班学生组成集合为I，参加计算机小组的学生组成集合A，参加生物小组的学生组成集合B，(如图)

至少参加一个小组的学生有50－5=45(人)，即A∪B中元素个数为45．

而A与B元素个数和为28+23=51(人)，说明有51－45=6(人)两个小组都参加了．

那么只参加了一个小组的学生有45－6=39(人)．

例6．用适当方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.

(1)大于10的所有自然数组成的集合

（２）由24与30的所有公约数组成的集合

（３）方程ｘ２－４＝０的解集

(4)小于10所有质数组成的集合

(5)方程(ｘ－１）２（ｘ－２）＝０的解集.

选题意图：本题主要用来强化集合的表示方法及集合的分类，培养学生灵活解题的能力.

解：（１）｛ｘ∈Ｎ｜ｘ＞１０｝，无限集

（２）｛１，２，３，６｝，有限集

(3)｛２，－２｝，有限集

(5)｛１，２｝，有限集

说明：五个小题中只有(1)用描述法较好，其余的用列举法较好，但应注意，(5)不能写成｛１，１，２｝，要注意元素的互异性.

例7．设U＝Ｒ，又集合Ａ＝｛ｘ｜－５＜ｘ＜５，Ｂ＝｛ｘ｜０≤ｘ＜７，则A∩Ｂ＝           ；Ａ∪Ｂ＝           ；（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）＝           ；（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）＝           ；ＣＵ（Ａ∩Ｂ）＝           ；Ａ∪（ＣＵＢ）＝           ．

选题意图：此例主要加强补集、交集、并集的概念及利用数轴求补集、交集、并集的方法.

解：Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜０≤ｘ＜５}；

Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜－５＜ｘ＜７}

（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）＝｛ｘ｜ｘ≤－５或ｘ≥７｝

（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）＝｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ≥５｝

ＣＵ（Ａ∩Ｂ）＝（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）＝｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ≥５＝

Ａ∪（ＣＵＢ）＝｛ｘ｜ｘ＜５或ｘ≥７

说明：在求（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）和（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）时，可运用摩根律，即

（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）＝ＣＵ（Ａ∪Ｂ）、（ＣＵA)∪（ＣＵＢ）＝ＣＵ（Ａ∩Ｂ），由于已求出Ａ∩Ｂ和Ａ∪Ｂ，故(ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）和（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）可直接得出.摩根律可用文氏图验证，证明一般用证集合相等的方法.

例8．已知：集合A＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ２＋ａｘ＋１＝０｝，Ｂ＝｛１，２｝，且Ａ Ｂ，求实数a的取值范围.

选题意图：本例旨在训练子集概念在方程中的应用，培养学生全面考虑问题的能力.

解：∵Ｂ＝｛１，２｝，ＡＢ，

∴A可能是Ａ＝｛１｝，Ａ＝｛２｝，Ａ＝

当A＝｛１｝时，a=-2

当Ａ＝｛２｝时，有方程组无解

当Ａ＝时，-2＜ａ＜２

综上，实数a的取值范围是－２≤ａ＜２．

说明：空集是任何非空集合的真子集，A？？Ｂ，A可能是空集，这是容易忽略的.

例9．A是包含于方程ｘ２－ｐｘ＋１５＝０的解集，B是包含于方程ｘ２－５ｘ＋ｑ＝０的解集，又Ａ∪Ｂ＝｛２，３，５｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，求p、q的值及集合A、B.

选题意图：本例主要强化交集、并集概念在方程的解集中的应用.

解：设ｘ１，ｘ２为方程ｘ２－ｐｘ＋１５＝０的两根；ｘ3，ｘ４为方程ｘ２－５ｘ＋ｑ＝０的两根.则有  

∵Ａ∪Ｂ＝｛２，３，５｝且Ａ∩Ｂ＝｛３｝

∴上述两方程组有一个公共根3.

设ｘ１＝ｘ３＝３，则ｘ２＝５，ｘ４＝２

∴ｐ＝３＋５＝８，ｑ＝２×３＝６

∴方程ｘ２－ｐｘ＋１５＝０的解集为｛３，５｝，方程ｘ２－５ｘ＋ｑ＝０的解集为｛２，３｝

∴Ａ｛３，５｝，Ｂ｛２，３｝

∴Ａ＝｛３，５｝，Ｂ＝｛２，３｝

说明：求集合A、B需首先确定方程的解集，而3是两方程的公共根是解题的关键.

交集并集引申与提高

1．交集、并集运算定律

(A∩B)∩C =A∩(B∩C)         交换律，结合律

(A∪B)∪C = A∪(B∪C)         交换律，结合律

(A∩B)∪C =(A∪C)∩(B∪C)     分配律

(A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C)     分配律

以上定律可利用文氏图直观得以验证．

2．关于交集、并集中元素个数的计算．

用n (A)表示集合A中元素的个数，则有：

(1) n (A∪B)=n (A)+n (B)－n (A∩B)

(2) n (A∪B∪C)=n (A)+n (B)+n (C)－n (A∩B)－n (A∩C)－n (B∩C)+n(A∩B∩C)

这两个等式可以用文氏图直观验证，用圆圈代表集合，则这个集合中元素的个数可以用圆圈所覆盖的面积来表示．

公式(1)中n (A∪B)直观上就是集合A、B两个圆所覆盖的面积的大小．

当两个集合交集为空集时，显然有：

n (A∪B)=n (A)+n (B)．

当两个集合A、B交集非空时(如图)

显然有两圆圈所覆盖面积小于两圆圈所覆盖面积的和，所少的部分即为两圆圈重叠部分的面积，所以有n (A∪B)=n (A)+n (B)－n(A∩B)．

公式(2)中n (A∪B∪C)可以看作三个圆圈所覆盖的面积，

由图中可以看到，用三个圆圈的面积和分别减去每两个圆圈重叠部分面积时，图中阴影部分(即三个圆圈重叠部分)的面积被减了三次，所以应补回这块面积．则有：

n (A∪B∪C)= n (A)+n (B)+n(C)－n (A∩B)－n (A∩C)－n (B∩C)+n(A∩B∩C)