高中数学苏教版必修12.2.2 函数的奇偶性教学设计

第十课时 函数的奇偶性（1）

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学习要求

1．了解函数奇偶性的含义；

2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；

3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质

自学评价

1．偶函数的定义：

    如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数．

注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；

（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；

2．奇函数的定义：

    如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数．

3．函数图像与单调性：

奇函数的图像关于原点对称；

偶函数的图像关于轴对称．

4．函数奇偶性证明的步骤：

（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；

（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系  ；

(3)下结论        .

【精典范例】

一．判断函数的奇偶性：

例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：

判断下列函数的奇偶性：

(1)　(2)

(3)，

(4)　　 (5)

析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。

【解】(1) 函数的定义域为，关于原点对称，

且，所以该函数是奇函数。

(2)函数的定义域为，关于原点对称，

且，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数。

(3) 函数，的定义域为不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数。

(4)函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数既是奇函数又是偶函数。

(5) 函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数是偶函数。

二．根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：

例2：已知函数是定义域为的奇函数，求的值．

【解】

∵是定义域为的奇函数，

∴对任意实数都成立，

把代入得

，

∴．

三．已知函数的奇偶性求参数值：

例3：已知函数是偶函数，求实数的值．

【解】∵是偶函数，∴恒成立，

即恒成立，

∴恒成立，∴，即．

追踪训练一

1. 给定四个函数；；；；其中是奇函数的个数是(B)

１个　　２个　　

３个　　４个

2. 如果二次函数是偶函数，则　３．

3. 判断下列函数的奇偶性：

（1）

（2）

（3）

解：(1)函数的定义域为，关于原点对称，

对于定义域中的任意一个，

所以该函数是偶函数；

(2)函数 的定义域得关于原点对称，此时

对于定义域中的任意一个，

所以该函数是奇函数；

(3) 函数的定义域为关于原点对称，此时，所以该函数既是奇函数又是偶函数。

【选修延伸】

构造函数的奇偶性求函数值：

例３: 已知函数若，求的值。

析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。

【解】

方法一：　　由题意得①

　　　②

①＋②得

∵

∴

方法二：　　构造函数，

则一定是奇函数

 又∵，∴

因此  所以，即．

说明：

１．如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；

根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；

２．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；

思维点拔：

一、等式和的变形形式：

我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将进行化简，其方向是或以外，我们还可以看到其等价形式、或当恒成立时，也有、．

追踪训练

1．下列结论正确的是：　　　　　(C )

偶函数的图象一定与轴相交；

奇函数的图象一定过原点；

偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；

定义在上的增函数一定是奇函数．

2. 若函数为奇函数，且当时，，则当时，有（C）  （    ）

 ≤0    

－

3. 设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．

①y=－| f（x）|

②y=xf（x2）

③y=－f（－x）

④y= f（x）－f（－x）

中必为奇函数的有____②④____________．（要求填写正确答案的序号）．

4. 设奇函数f（x）的定义域为[－5,5].

若当x∈[0,5]时,  f（x）的图象如下图,则

不等式的解是    .

5．若是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式．

解：由题意得：

则

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