苏教版必修13.1.2 指数函数教案

2013-2014版高中数学 3.1.2.3指数函数习题课同步训练 苏教版必修1

1．已知实数a，b满足等式()a＝()b，则下列五个关系式①0＜b＜a，②a＜b＜0，③0＜a＜b，④b＜a＜0，⑤a＝b，其中不可能成立的关系式为________．

解析　在同一直角坐标中作出函数y＝()x和y＝()x的草图，如图所示，由图可得①②⑤可能成立，不可能成立的为③④.

答案　③④

2．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时均有f(x)<，则实数a的取值范围是______．

解析　由题意知，x∈(－1,1)时，ax>x2－，结合y＝ax与y＝x2－的图象可得≤a<1或1<a≤2.

答案　[，1)∪(1,2]

3．函数y＝a2x－4＋3(a＞0，a≠1)的图象恒过点________．

解析　由于指数函数的图象过定点(0,1)可以把y＝a2x－4＋3化成y－3＝a2x－4，令2x－4＝0，得x＝2，y＝4，所以函数y＝a2x－4＋3恒过点(2,4)．

答案　(2,4)

4．用“＞”、“＜”填空．

100.2________100.1；0.1－2________0.12；

100.1________8－0.2.

解析　∵y＝10x是增函数，y＝0.1x是减函数，

∴100.2＞100.1,0.1－2＞0.12，

∵100.1＞1,8－0.2＜1，∴100.1＞8－0.2.

答案　＞　＞　＞

5．设函数f(x)＝－x2＋2a＋1x－4a＋1，且当x∈R时，均有f(x)≤1，则实数a的取值范围是________．

解析　因为f(x)≤1恒成立，所以x2－2a＋1x＋4a≥0恒成立，而x2－2a＋1x＋4a＝x2－2×2ax＋(2a)2＝(x－2a)2≥0，所以，a的取值为任意实数．

答案　R

6．已知函数f(x)＝2x－，x∈[－1,2]．

(1)若f(x)＝，求x值；(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)求f(x)的值域．

解　(1)若－1≤x≤0，则f(x)＝2x－＝2x－2x＝0；若0<x≤2，则f(x)＝2x－，所以，当＝2x－，得x＝1.

(2)由(1)得f(x)的单调增区间是[0,2]．

(3)由(2)得f(x)min＝f(0)＝0，f(x)min＝f(2)＝.所以f(x)的值域为[0，]

7．已知函数y＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则a，b的取值范围是________．

解析　如图所示，当x＝0时，y＝a0＋b＜0，∴b＜－1.

∵函数图象经过第一、三、四象限，故a＞1，

∴a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1)．

答案　a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1)

8．函数y＝()的单调减区间为________．

解析　因为函数y＝()的定义域为(－∞，1]∪[3，＋∞)，且函数u＝在[3，＋∞)上单调递增，函数y＝()u是单调减函数，所以函数y＝()在[3，＋∞)上单调递减．

答案　[3，＋∞)

9．函数f(x)＝5x与g(x)＝53－x的图象关于直线________对称．

解析　作f(x)＝5x的图象关于y轴对称图形，即h(x)＝5－x，再把h(x)＝5－x的图象向右平移3个单位，得g(x)＝5－(x－3)＝53－x的图象．

画出草图知f(x)＝5x与g(x)＝53－x的图象关于直线x＝对称．

答案　x＝

10．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．

解析　由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系下的图象(如图所示)，实线部分为f(x)的图象，可知A(4,6)为函数f(x)的图象的最高点．

答案　6

11．(1)已知f(x)＝＋m是奇函数，求常数m的值；

(2)画出函数y＝|2x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|2x－1|＝k无解？有一解？有两解？

解　(1)若f(x)为奇函数，

则f(x)＝－f(－x)，

即－m＝＋m，

m＝－(＋)＝－＝1.

∴常数m＝1

(2)y＝|2x－1|的图象如上图，当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图象无交点，即方程无解；

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．

12．要使函数y＝1＋2x＋4x·a在x∈(－∞，1]上时y>0恒成立，求a的取值范围．

解　由题意得1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]上恒成立，即a>－在x∈(－∞，1]上恒成立．

令f(x)＝－＝－()2x－()x

＝－[()x＋]2＋，

∵x∈(－∞，1]，∴()x∈[，＋∞)．

令t＝()x，

则f(t)＝－(t＋)2＋，t∈[，＋∞)，

f(t)在[，＋∞)上为减函数，

∴f(t)≤f()＝－(＋)2＋＝－，

即f(t)∈(－∞，－]．

∵a>f(t)，∴a∈(－，＋∞)．

13．(创新拓展)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.

(1)求a、b的值；

(2)若对于任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．

解　(1)∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义，

∴f(0)＝0，即＝0，

∴b＝1，∴f(x)＝.

又∵f(－1)＝－f(1)，

∴＝－，∴a＝2，

∴f(x)＝.

(2)先研究f(x)＝的单调性．

∵f(x)＝＝－＋，

∴f(x)＝在R上为减函数．

∵f(x)为奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，

∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

又∵f(x)在R为减函数，

∴t2－2t＞－2t2＋k，

即对一切t∈R，有3t2－2t－k＞0恒成立，

∴Δ＜0，即4＋12k＜0，∴k＜－.

故实数k的取值范围是.