高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数教学设计及反思

指数函数

教学目标

1.掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.

2.能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.

3.能根据单调性解决基本的比较大小的问题.

教学重点

指数函数的定义、图象、性质

教学难点

指数函数的描绘及性质

教学过程

一.问题情景

问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂次以后,得到的细胞个数与有怎样的关系.

问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的关系.

二.学生活动

1.思考问题1,2给出与的函数关系?

2.观察得到的函数,与函数的区别.

3.观察函数,与的相同特点.

三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）

[师]:通过问题1,2的分析同学们得出与之间有怎样的关系?

[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到()个细胞,分裂三次得到(),所以分裂次以后得到的细胞为个,即与之间为.

[生2]:第一次剩下绳子的,第二次剩下绳子的(),第三次剩下绳子的

(),那么剪了次以后剩下的绳长为米,所以绳长与之间的关系为.

（学生说完后在屏幕上展示这两个式子）

[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?

[生]:每一个都有唯一的与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.

[师]:（接着把打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数,在形式上与函数有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).

[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而的自变量在底上.

[师]:那么再观察一下,与函数有什么相同点?

[生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.

[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）

定义:一般地,函数

                              ()

叫做指数函数,它的定义域是.

概念解析1:

[师]:同学们思考一下为什么中规定?(引导学生从定义域为的角度考虑).（先把，，显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）

[生]:⑴若,则当时, 没有意义.

⑵若,则当取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:.

⑶若,则,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了.

所以,我们规定指数函数的底.

[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:

  　问题１．已知函数为指数函数，求的取值范围．（屏幕上给出问题）

[生]:由于作为指数函数的底因此必须满足：

　　　即

概念解析２:

[师]:我们知道形如（）的函数称为指数函数．通过观察我们发现：

⑴前没有系数，或者说系数为１．既；

⑵指数上只有唯一的自变量；

⑶底是一个常数且必须满足：．

那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）

问题2．⑴，⑵，⑶，⑷

⑸，⑹，⑺，⑻

[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．

[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为．

[师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．

[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．

根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？

[生]:（共同回答）列表，描点，连线．

[师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出，和，的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）

[师]:那么我们下面就作出函数：，， ，的图象

[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）

[生１]:函数的定义域都是一切实数，而且函数的图象都位于轴上方．

[师]:函数的图象都位于轴上方与有没有交点？随着自变量的取值函数值的图象与轴是什么关系？

[生１]:没有．随着自变量的取值函数的图象与轴无限靠近．

[师]:即函数的值域是：．那么还有没有别的性质？

[生２]:函数、是减函数，函数、是减函数．

[师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此有说明是在哪个范围内．又，那么上述的结论可以归纳为：

[生２]:当时，函数在上是减函数，当时，函数在上是增函数．

[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？

[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数当自变量取０时，函数值恒等于１．

[师]:也就是说指数函数恒过点，和底的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量之间有什么关系？

[生3]:由图象可以发现：

当时，若，则；若，则.

当时，若，则；若，则.

[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?

[生4]: 函数与的图象关于轴对称,函数与的图象关于轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)

[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?

[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.

[师]:由此我们得到一般的结论, 函数与的图象关于轴对称.

[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.

巩固与练习

１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答）

⑴　　　，⑵　　　，⑶　　　，⑷　　　，

⑸　　　，⑹　　　，⑺　　　，⑻　　　．

四.数学运用

例1.比较大小

⑴      ⑵       ⑶

解: ⑴考虑指数函数.因为

所以在上是增函数.因为

所以

⑵考虑指数函数.因为

所以在上是减函数.因为

所以

⑶由指数函数的性质知，而

所以

例2．⑴已知，求实数的取值范围；

　　　⑵已知，求实数的取值范围．

解：⑴因为，

所以指数函数在上是增函数．

由，可得，即的取值范围为

⑵因为

所以指数函数在上是减函数，因为

所以

由此可得，即的取值范围为．

五.回顾小结

（），）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数．

２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．

３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．

六.课外作业

课本　１，２，４高中数学《任意角的三角函数-妙用三角函数定义解题》素材8 苏教版必修4