高中数学苏教版必修13.1.2 指数函数教学设计
展开指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R),从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数y=a^x中可以看到:
(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,
同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凸的。
(4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(7) 函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
(8) 显然指数函数无界。
(9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
底数的平移:
对于任何一个有意义的指数函数:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
即“上加下减,左加右减”
底数与指数函数图像:
(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)
幂的大小比较:
比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
例如:y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2大于y1.
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:
<1> 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。
<2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)时,a^x大于1,异向时a^x小于1.
〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数;
⑵y=(1/4)^x
因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数
定义域
:实数集R 值域:(0,+∞)
富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言
富兰克林利用放风筝而感受到电击,从而发明了避雷针.这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱:
“……一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些款过了100年增加到131000英镑.我希望那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的31 000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了,这笔款增加到4061000英镑,其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.过此之后,我可不敢主张了!”
你可曾想过:区区的1000英镑遗产,竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱,是“信口开河”,还是“言而有据”呢?事实上,只要借助于复利公式,同学们完全可以通过计算而作出自己的判断.
yn=m(1+a)n就是复利公式,其中m为本金,a为年利率,yn为n年后本金与利息的总和.在第一个100年末富兰克林的财产应增加到:y100=1000(1+5%)100=131501(英镑),比遗嘱中写的还多出501英镑.在第二个100年末,遗产就更多了:y100=131 501(1+5%)100=4142421(英镑).可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的.
遗嘱故事启示我们:在指数效应下,微薄的财产,低廉的利率,可以变得令人瞠目结舌.威名显赫的拿破仑,由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪!
1797年,拿破仑参观国立卢森堡小学,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并许诺只要法兰西共和国存在一天,他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由于连年征战,拿破仑忘却了这一诺言!1894年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”,要求法国政府在拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中,二者选取其一.这笔巨款就是三个金路易的本金,以5%的年利率,在97年的指数效应下的产物.
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