高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教案及反思

这是一份高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教案及反思，共7页。教案主要包含了学习目标，课前导学，课堂活动，思路分析，解后反思，方法引导，课后提升等内容，欢迎下载使用。

1．理解并掌握对数函数的定义、图象和性质；
2．通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想．
【课前导学】
1． eq \\ac(○,1) 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
eq \\ac(○,2) 对数的定义及其对底数的限制．
2．在某细胞分裂过程中，细胞个数是分裂次数的函数．因此，当已知细胞的分裂次数的值（即输入值是分裂次数），就能求出细胞个数的值（即输出值是细胞个数）,这样，就建立起细胞个数和分裂次数之间的一个关系式，
（1）你还记得这个函数模型的类型吗？
生：是 函数．
（2）反过来，在等式中，如果我们知道了细胞个数，求分裂次数，这将会是我们研究的哪类问题？
生： 问题．
（3）能否根据等式，把分裂次数表示出来？
生：分裂次数可以表示为 ．
（4）在关系式中每输入一个细胞个数的值，是否一定都能得到唯一一个分裂次数的值？
（生思考，并交流思考结果，师总结）
师：我们通过研究发现：在关系式中把细胞个数看作自变量，则每输入一个的值，都能得到唯一一个分裂次数的值，根据函数的定义，分裂次数就可以看作是细胞个数的函数，这样就得到我们生活中的又一类与指数函数有密切关系的函数模型——对数函数．这就是我们下面将要研究的问题．
（引入新课，书写课题：对数函数）
【课堂活动】
一．建构数学：
对数函数的概念
师：在前面学习中所提到的放射性物质，经过时间x（年）与物质剩留量y的关系为，我们也可把它写成对数式：，其中时间x（年）也可以看作物质剩留量y的函数，可见这样的问题在实际生活中还是不少的．
（1）习惯上，我们用x表示自变量，用y表示函数值，你能把以上两个函数表示出来吗？
生： ．
（2）你能据此得到此类函数的一般式吗？
生： ．
（3）上式中的底数a有什么具体限制条件吗？请结合指数式给以解释．
生：
（4）你能根据指数函数的定义给出对数函数的定义吗？
（生交流，师结合学生的回答总结、归纳，并板书对数函数的定义）
一般地，函数 叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数的定义域是 ，值域是 ．
注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
（2）对数函数对底数的限制：，且．
对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
提示：（1）研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
（2）研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
1.借助于计算器或计算机在同一坐标系内画出它们的图象，并观察各组函数的图象，探究它们之间的关系．
（1），；
（2）；
2.当时，函数的图象之间有什么关系？
（组织学生讨论，互相交流自己获得的结论，师用多媒体显示以上两组函数图象，借助于《几可画板》软件动态演示图象的形成过程，揭示函数．图象间的关系及函数图象间的关系，得出如下结论）
结论：（1）函数和的图象关于直线对称；
（2）函数和图象也关于直线对称．
合作探究：分析你所画的两组函数图象,看看一般的指数函数与对数函数图象有什么关系？
（生讨论并交流各自的发现，师结合学生的交流，适时归纳．总结指数函数与对数函数的图象关于直线y=x对称）
知识拓展：函数和的图象关于直线对称．
观察归纳：观察下面两个对数图象，对照指数函数的性质，你发现对数函数的哪些性质？
对数函数的图象与性质
合作探究：
对数函数，当a>1时，x取何值，y>0 ? x 取何值时，y<0? 当0（2）对数式的值的符号与a．b的取值之间有何关系？请用一句简洁的话语叙述．
知识拓展：函数称为的反函数，反之，称为的反函数．一般地，如果函数存在反函数，那么它的反函数记作
二．应用数学：
例1 求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）.
提问：1、到现在为止，你认为求函数定义域时，应从哪些方面来考虑？
（生答，师归纳）
2、在该题中除了以上三个方面需要考虑外，还有没有其他限制呢？
（生思考交流，师适时归纳、总结）
【思路分析】该题主要考查对数函数的定义域为这一限制条件，根据函数的解析式列出不等式（组），解对应的不等式（组），得出函数的定义域．
（师生共同完成该题解答，师规范板书）
解：（1）要使函数有意义，必须有 4-x>0 解得x<4, 故函数的定义域为（- ，4）;
(2)要使函数有意义，必须有 >0 解得x>1, 故函数的定义域为(1,+);
(3) 要使函数有意义，必须有>0即 0 < 5x-3 <1解得．
故函数的定义域为（）．
【解后反思】 解决有关函数求定义域的问题时可以从以下几个方面考虑，列出相应不等式或不等式组，解之即可．
若函数解析式中含有分母，则分母不等于0；
若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；
0的0次幂没有意义；
若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0．
求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组．
例2 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）
（2）
（3）
（4）
【方法引导】本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较对数式的大小．当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小．
若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．
合作探究：（1）比较两个数的大小： ；
（2）已知比较的大小；
（3）已知试比较的大小．
【思路分析】
1．这里要比较的是两个对数的大小，它们的底数不同，但它们的真数相同；如何比较的大小呢？能否转化为比较两个同底的对数的大小呢？
（生思考，合作探究尔后交流，师归纳）
2． ，而，
根据函数上是减函数，所以
3．同学们想一想，能否根据图象求出对数函数的底数？
（生思考，可以根据学生回答情况，适时作出讲解．）
4．我们知道“底数的对数是1”，因此，直线与图象的交点的横坐标就是“底”，交点离y轴越远则底数越大．则可用下图来说明两个对数的大小．

如图，点C和点D的纵坐标分别为从图上显然可以看出，
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
5．若真数相同，底数不同，则可根据图象作比较．先作出两个函数的图象，再作出直线x=与它们的交点，视交点的高低作判断．
6．（2）可由学生自己完成，再给出图象加以说明．从图可以看出，
（第（3）道题，视课堂情况而定，决定是否完成，还是留待思考研究）
7．前面两道题，第1道，是两个底数不同，真数相同的对数的大小比较，可以转化为比较两个同底的对数的大小，或者利用两个对数函数图象比较．第2道是已知两个不同底数但同真数的对数的大小，比较他们的底数的大小；第3道也是这类问题，但不同的是没给出它们都大于零这一条件．能否受第2道题的启发，类似地解出第3问呢？
（生思考并交流，师生配合得出如下解答）
8．当然，也可以仿照第（1）小题的方法利用换底公式，转化为同底的对数的大小比较．课后同学们去试一试，本题涉及到分类讨论思想．
三．理解数学：
1．求函数y=lga(9-x2) 的定义域 (答案：(-3,3) )
2．比较下列各题中两个值的大小：
⑴ lg106 < lg108 ⑵ lg0.56 < lg0.54
⑶ lg0.10.5 > lg0.10.6 ⑷ lg1.50.6 > lg1.50.4
3．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) lg 3 m < lg 3 n
(2) lg 0.3 m > lg 0.3 n
(3) lg a m < lga n (0 (4) lg a m > lg a n (a>1)
解：（1）考查函数y=x，
∵3＞1，∴函数y=x在（0，+∞）是增函数，
∵m＜n，∴m＜n．
(2)考查函数y=x，
∵0＜0.3＜1，∴函数y=x在（0，+∞）上是减函数，
∵m＞n，∴m＜n
(3)考查函数y=x，
∵0＜a＜1，∴函数y=x在（0，+∞）上是减函数，
∵m＜n，∴m＞n
(4)考查函数y=x，
∵a＞1，∴函数y=x在（0，+∞）上是增函数，
∵m＞n，∴m＞n．
4．将0.32，lg20.5，lg0.51.5由小到大排列的顺序是_ -1= lg20.5< lg0.51.5<0<0.32_____．
【课后提升】
1.，则满足这一条件的的大小关系是 ．
2. 如果图像与图像关于x轴对称，则a，b的关系 ．
3.若方程 ．
4.已知.
5.方程.
6．如图所示曲线是对数函数的图像，已
知a值取，则相应于的a
值依次为 ，，， ．
1
0
7．已知
将a，b，c，d四数从小到大排列 c，d，a，b ．
（探究）8．函数恒过定点 ．
答案：
a>1
0图象
（0性
质
（1）定义域为；
（2）值域为R；
（3）图象过点（1，0）；
（4）在是单调增函数
在是单调减函数