高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教案设计

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第26课时 对数函数（4）【学习导航】学习要求1、  进一步巩固对数函数的性质；2、  掌握简单的对数不等式求解方法；3、  掌握对数函数与恒成立问题。【精典范例】一、对数不等式的求解方法例1、解关于x的对数不等式；2 loga (x－4)>loga(x－2).思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a的取值范围不确定，故应进行分类讨论。解：原不等式等价于(1)当a>1时，又等价于解之，得x>6。(2)当0<a<1时，又等价于解之，得4<x<6.综上，不等式的解集，当a>1时，为(6，+ ∞)；当0<a<1时，为(4,6).   二、以对数函数为模型的抽象函数问题例2、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0；(2)求f(16)；(3)试证f(xn)=nf(x)，n∈N*.   思维分析：这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件，可以将对数函数y=log4x作为该函数的原型，从而找到问题的解决思路与方法。(1)证明：令x=y=1，则得f(1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0；(2)解：令x=y=4，则有f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=1+1=2；(3)证明：f(xn)=f(x·x·…·x)   (n个x)=f(x)+f(x)+…+f(x)=nf(x)   (n个f(x)) 三、对数函数与恒成立问题例3: 已知：在上恒有，求实数的取值范围。分析：去掉绝对值符号，转化为含对数式的不等式。【解】∵，∴当时，，由在上恒成立 ，得  在上恒成立，∴，∴  （1）当时，，由在上恒成立 ，得  在上恒成立，∴，∴（2）由（1）（2）可知，实数的取值范围为思维点拔：本题的特点是给出了自变量的取值范围，求字母的取值范围，它与解不等式有本质的区别，在上恒成立，是指在上的所有值都大于1，这是一个不定问题，但转化为函数的最大（最小）值后，问题就简单了，这类问题的一般结论是：（1）（为常数，）恒成立，（2）（为常数，）恒成立，利用这两个结论，可以把“不定”问题转化为“定”的问题。  追踪训练1、解不等式解答：{x|－1<x<－}∪{x|<x<1}    2、若函数f(x)满足f(x+y)+f(x－y)=f(x2－y2)，则f(x)可以是(    )A.f(x)=2x   B.f(x)=x2   C.f(x)=log2x   D.f(x)=2x  解答：C 3、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，且对任意的x、y>0满足f()=f(x)－f(y)，当x>1时有f(x)<0，试判断f(x)的单调性并证明.解答：f(x)在(0，+∞)上是减函数。证明略。4、已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：要使当时，恒成立，即要：当恒成立令（1）       当，即时，得   （2）       当，即时，得   （舍去）（3）       当，即时，得   ∴由（1）（2）（3）可知，实数的取值范围为。